Некоторые понятия из дифференциальной геометрии

Способы задания кривой

Естественный способ задания движения точки

2º. Основные определения из дифференциальной геометрии

Как показано в главе 1, §2, пункт 1, траектория движения материальной точки, задаваемая при описании его естественным способом, представляет собой кривую линию в трехмерном пространстве с системой отсчета .

Поэтому требование задать траекторию означает, что надо задать кривую в трехмерном пространстве.

Как известно из дифференциальной геометрии, кривая в пространстве с системой координат может быть задана одним из следующих способов:

· векторный,

· параметрический,

· явное задание кривой,

· неявное задание кривой.

1). Векторный способ

Задается векторная функция , и полагается

. (1.2.2)

Здесь

— радиус-вектор точки на кривой,

— параметр, принимающий все значения из промежутка .

Векторная функция называется параметризацией кривой.

Если сделаем замену

, ,

при которой промежуток изменения параметра однозначно отображается в промежуток изменения параметра , то подстановкой в (1.2.2)

(1.2.2)

получим

, , (1.2.3)

где

.

Соотношение (1.2.3) задает геометрически ту же кривую, что и соотношение (1.2.2).

В таком случае говорят, что данная кривая задается в параметризации .

2). Параметрический способ

В декартовой прямоугольной системе координат задаются координаты точки на кривой

, .

3). Явное задание кривой

В декартовой прямоугольной системе координат оно имеет вид:

· на плоскости

, ;

· в пространстве

, , .

При явном задании кривой роль параметра играет одна из координат (в указанном здесь задании — это координата ).

4). Неявное задание кривой

Такое задание имеет вид:

– на плоскости ;

, — в пространстве в ДПСК .

Пусть дана кривая (см. рис.1.2.3). На этой кривой будем обозначать:

— некоторую фиксированную геометрическую точку кривой,

— произвольную точку кривой.

Дата добавления: 2014-01-07