Механические колебания и волны

Лекция 3.

Механические колебания: гармонические, затухающие, вынужден­ные. Резонанс. Автоколебания. Энергия гармонических колебаний. Раз­ложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных. Механические волны, их виды и скорость распространения. Уравнение волны. Энергетические ха­рактеристики волны. Эффект Доплера и его применение для неинвазивно­го измерения скорости кровотока.

Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т. п.). Всем колебаниям, независимо от их природы, присущи некоторые общие закономерности. В зависимости от характера взаимодействия колеблющейся системы с окружающими телами различают колебания свободные, вынужденные и автоколебания. Колебания распространяются в среде в виде волн.

Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые совершаются без внешних воздействий за счет первоначально полученной телом энергии. Характерными моделями таких механических колебаний являются материальная точка на пружине (пружинный маятник) и материальная точка на нерастяжимой нити (математический маятник).

В этих примерах колебания возникают либо за счет первоначальной потенциальной энергии (отклонение материальной точки от положения равновесия и движение без начальной скорости), либо за счет кинетической (телу сообщается скорость в начальном положении равновесия), либо за счет и той и другой энергии (сообщение скорости телу, отклоненному от положения равновесия).

Пружинный маятник В положении равно-весия упругая сила уравновешивает силу тяжести . = Если оттянуть пружи-ну на х, то на мат. точку будет действо-вать большая упругая сила. F = -kx, (закон Гука) где k - коэффициент пропорциональности между силой и смеще-нием, который являет-ся жесткостью пружи-ны. Знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону положения равновесия: F < 0 при х > 0, F > 0 при х < 0.

Математич-ий маятник отклонен от равнове-сия на угол α, что считаем траекторию движения мат. точки прямой линией, совпа-дающей с осью ОХ. При этом: где х - смещение мат. точки от положения равновесия, l - длина нити маятника. На мат. точку действуют сила натя-жения сила тяжести , модуль ра-внодействующей равен где k - коэффициент пропорциональности между силой и смеще­нием, равен . Силы, неупругие по природе, но аналогич-ные силам, возникаю-щим при деформациях упругих тел, на­зыва-ют квазиупругими

На мат. точки, в этих примерах, кро­ме упругой и квазиупругой силы действует и сила сопротивления (трения), модуль которой обозначим F_c, тогда

F=-kx+F_c

Дифференциальное уравнение, описывающее движение мат. точки, получаем на основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех дей­ствующих сил):

Незатухающие колебания модель, сила (Fc = 0). имеем: . Заменяя получаем диф. уравнение второго порядка: решение, приводит к гармоническому колебанию: где фаза колебаний. j0 - начальная фаза (при t = 0), w0 — круговая частота колебаний, А - их амплитуда в момент t = 0. Среди различных видов колебаний гармоническое колебание является наиболее простой формой. Величина имеет важный физический смысл, так как определяет частоту колебаний Период колебаний период колебаний пружинного ма­ятника период колебаний мат. маятника скорость мат. точки при гармоничес­ком колебании, есть производная от по времени: преобразуем Сравнивая х и v, замечаем, что фаза скорости набольше фазы смещения, т. е. скорость опережает по фазе смеще­ние на Продифференцировав v, найдем ускорение: где- ампли-туда ускорения. преобразуем Из сравнения a и x следует, что фазы ускорения и сме­щения различаются на π, т. е. эти величины изменяются в противофазе. Графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис. 5.4, а их векторные диаграммы — на рис. 5.5.

Затухающие колебания. При наличии силы со-противления (трения) , где r — коэффициент трения (сопротивления), колебания становятся затухающими. Диф уравнение имеет вид Разделив на т, запишем его в форме: После замены и получаем: где b - коэффициент затухания, w0- круговая частота собственных колебаний системы (без затухания). Решение зависит от знака , где w - круговая частота затухающих колебаний. При w^2 - b^2 > 0 круговая частота w действительная величи-на и решение будет следующим: изменение амплитуды: где значение А 0 приведено на рисунке. Период затухающих колебаний определяется формулой: При малом трении период затухающего колебания близок к периоду незатухающего свобод-ного колебания: Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэф­фи-циентом затухания: чем сильнее тормозящее де-йствие среды, тем боль-ше b и тем быстрее уменьшается амплиту-да. Степень затухания характеризуют логарифми­ческим дек-рементом затухания,, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, разделенных интервалом времени, равным пери­оду колебаний. коэффициент затухания и логарифмический дек­ремент затухания связа-ны простой зависимо-стью: При сильном затухании (b^2 > w^2) период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим.

Дата добавления: 2014-01-07