Распределение Пуассона

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно p и n велико, то закон распределения вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий определяется:

P_n (k) = l^ke ^{- l} / k!, где λ = рn.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона.

Пример.Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение. По условию n = 1000, р = 0,004, k = 5. Найдем λ: λ = рn = 4.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

P ₁₀₀₀(5) = 4⁵ e ^-4/5!» 0,15.

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступаю в случайные моменты времени.

Интенсивность потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

P_t (k) = (lt)^k / k!.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно, т.е. за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Пример.Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту, равно 5. найти вероятность того, что за две минуты поступит:

а) три вызова; б) менее трех вызовов.

Решение. Будем предполагать, что поток вызовов является простейшим.

а) По условию λ = 5, t = 2, k = 3. Вероятность того, что за две минуты поступит два вызова найдем по формуле Пуассона:

P ₂(3) = 10³ e ^-10 /3!» 0,0076.

б) События не поступило ни одного вызова, поступил один вызов и поступило два вызова несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за две минуты поступит менее трех вызовов, равна

P ₂(k < 3) = P ₂(0) + P ₂(1) + P ₂(2) = e ^-10 + 10 e ^-10 + 10² e ^-10/2!» 0,0028.

Глава. 5. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Дата добавления: 2014-01-07