Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Криволинейный интеграл второго рода




Задача о вычислении работы силы вдоль кривой.

Пусть С – спрямляемая кривая в пространстве XYZ с заданным направлением движения по ней. В каждой точке кривой задан вектор силы

.

Следует вычислить работу силы вдоль кривой C.

Если бы кривая была прямолинейным направленным отрезком , а сила была постоянной вдоль всего этого отрезка, работу мы вычислили бы с помощью скалярного произведения по формуле .

Будем полагать компоненты вектора силы , , непрерывными на C функциями. Будем считать кривую C гладкой, то есть такой, что в каждой точке кривой существует касательная к кривой в этой точке, а при разбиении кривой точками на дуговые фрагменты и при измельчении такого разбиения хорда, соединяющая концы дугового фрагмента, становится сколь угодно близкой к соответствующему дуговому фрагменту.

Для вычисления работы силы вдоль кривой разобьем кривую C на n фрагментов точками с координатами так, что при движении в заданном направлении по кривой параметр i растет. Выберем на i-м дуговом фрагменте точку с координатами . При измельчении разбиения кривой вектор силы на i-м дуговом фрагменте мало отличается от вектора вследствие непрерывности компонент вектора силы. В свою очередь, путь вдоль i-го дугового фрагмента от точки с координатами к точке с координатами при измельчении разбиения мало отличается от пути вдоль соответствующей хорды. Прямолинейный путь вдоль хорды задается вектором , причем измельчение разбиения равносильно стремлению к нулю компонент вектора . Таким образом, работа силы вдоль i-го дугового фрагмента близка к значению , и это значение тем точнее, чем мельче разбиение кривой C.

Работу вдоль всей кривой C мы получим, если просуммируем значения работы на всех дуговых фрагментах кривой C, измельчая разбиение и увеличивая одновременно количество дуговых фрагментов:

.

 

Переходя от предела интегральных сумм к интегралу, имеем

.

Интеграл в правой части последнего выражения называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам. Этот интеграл вычисляют только вдоль ориентированных кривых – то есть, кривых, на которых задано направление. Заметим, что, если мы сменим направление движения вдоль кривой C на противоположное, а значит, заменим при вычислении вектор на вектор , то получим замену знака на противоположный знак. Поэтому при задании криволинейного интеграла второго рода обязательно задают направление движения по кривой интегрирования.

Как и интеграл по отрезку, криволинейный интеграл по непрерывной кривой, состоящей из нескольких фрагментов, равен сумме криволинейных интегралов по этим фрагментам. Поэтому можно рассматривать криволинейный интеграл и по кусочно-гладкой кривой, то есть, непрерывной кривой, состоящей из конечного числа гладких фрагментов.

В случае, когда кривая C замкнута, символ интеграла обычно несколько изменяют, добавляя пересекающий его кружок: .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 470; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.