Переключательные функции

Логические функции и элементы

Лекция 3

3.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

В отличие от аналоговых электронных устройств, в цифровых устройствах (ЦУ) входные и выходные сигналы могут принимать ограниченное количество состояний. В соответствии с логическим соглашением (ГОСТ 2.743-82), в зависимости от конкретной физической реализации элементов ЦУ, более положительному значению физической величины, "H" - уровень, соответствует состояние " логическая 1 ", а менее положительному значению,"L - уровень" - " логический 0 ". Такое соглашение называется положительной логикой. Обратное соотношение называется отрицательной логикой. В ГОСТ'е 19480 - 89 даны наименования, определения и условные обозначения основных параметров и характеристик цифровых микросхем.

Теоретической основой проектирования ЦУ является алгебра-логики или булева алгебра, оперирующая логическими переменными. Для логических переменных, принимающих только два значения, существуют 4 основных операции. Операция логическое "И" (AND) конъюнкция или логическое умножение, обозначается * или /\. Операция логическое "ИЛИ" (OR), дизъюнкция или логическое сложение, обозначается + или \/. Операция логическое "НЕ" (NOT), изменение значения, инверсия или отрицание, обозначается чертой над логическим выражением. Инверсия иногда будет в тексте обозначаться знаком " ~ ". Операция эквивалентности обозначается "=". Следующие соотношения являются аксиомами.

(1)	0 + 0 = 0		1 * 1 = 1	(1')
(2)	1 + 1 = 1	0 * 0 = 0	(2')
(3)	1 + 0 = 0 + 1 = 1	0 * 1 = 1 * 0 = 0	(3')
(4)	~1 = 0	~0 = 1	(4')

Из (1, 2) и (1',2') следует: x + x = x и x * x = x. (5)

Из (1, 3) и (2',3') следует: x + 0 = x и 0 * x = 0. (6)

Из (2, 3) и (1',3') следует: 1 + x = 1 и x * 1 = x. (7)

Из (3) и (3') следует: x +~x = 1 и~x * x = 0. (8)

Из (4) и (4') следует: ~(~x) = x. (9)

И, наконец, из (1,1'), (2,2'), (3,3') и (4,4') следует:

~(x0+x1) = ~x0 * ~x1 и ~(x0 * x1) = ~x0 + ~x1. (10)

Последние выражения (10) называют принципом двойственности или теоремой Де Моргана (инверсия логической суммы равна логическому произведению инверсий и наоборот). Соотношения двойственности для n переменных, часто записывают в виде:

~(x1 +.. + xn) = ~x1 *..* ~xn и

~(x1 *.. * xn) = ~x1 +.. + ~xn (11)

На функции И и ИЛИ распространяются обычные алгебраические законы - переместительный, сочетательный и распределительный, которые легко доказываются методом перебора: x1 op x0 = x0 op x1 - переместительный, x2 op x1 op x0 = (x2 op x1) op x0 - сочетательный и x2*(x1+x0) = (x2*x1) + (x2*x0) и x2 + (x1*x0) = (x2+x1) * (x2+x0) - распределительный, где операция op может быть, либо И, либо ИЛИ. Наряду с тремя основными логическими функциями, называемыми также переключательными, существуют и другие.

Для n - логических переменных (аргументов) существует 2ⁿ их комбинаций или двоичных наборов. На каждом таком наборе может быть определено значение функции 0 или 1. Если значения функции отличаются хотя бы на одном наборе, функции - разные. Общее число переключательных функций (ПФ) от n аргументов равно N=2²ⁿ. Для n=2, N=16. При n=3, N=256 и далее очень быстро растет. Практическое значение имеют 16 функций от 2-х переменных, т.к. любое сложное выражение можно рассматривать как композицию из простейших. В таблице 1 приведены некоторые из ПФ для n=2. i-номер набора входных переменных x1 и x0.

ЗАПОМНИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция "И" равна единице, если равны единице ВСЕ ее аргументы. Функция "ИЛИ" равна единице, если равен единице ХОТЯ БЫ один аргумент. Функция "ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ" (XOR) равна единице, если равен единице ТОЛЬКО один ее аргумент.

Дата добавления: 2014-01-07