Лейбниц формуласы

Егер және функцияларының -ші ретке дейінгі туындылары бар болса, онда

(4.14)

формуласы орынды болады. Мұнда биномдық коэффициенттер. (14) формуланы Лейбниц формуласы деп атайды.

Егер көбейтіліп тұрған функциялардың біреуінің туындылары белгілі бір реттен бастап нөлге айналып, екіншісінің туындылары оңай табылса, онда Лейбниц формуласын қолдану нәтижелі болады.

Мысалы, функциясының - ші ретті туындысын табайық.

Шешуі. Егер болса, онда болады. Демек, (4.14) бойынша

Параметр арқылы берілген функцияның жоғары ретті туындылары

Параметр арқылы берілген , функцияны қарастырайық. Оның бірінші ретті туындысы формуласымен анықталатындығы белгілі. Екінші ретті туындысын, , параметр арқылы берілген функцияның туындысы ретінде анықтау керек. Сонда, бірінші ретті туындыны анықтау формуласын және бөлшектің туындысын табу ережесін пайдалансақ, келесі формуланы аламыз:

.

Мысалы, функциясының екінші ретті туындысын табайық.

болғандықтан . .

7. Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары

Локальді экстремум. Егер нүктесінің - маңайында функцияның қабылдаған мәндері сол нүктедегі мәнінен аспаса (кем болмаса), онда -ді сол функцияның локальді максимум (локальді минимум) нүктесі деп атайды. Сонымен нүктесі функциясының локальді максимум (локальді минимум) нүктесі болуы үшін функциясы нүктесінің белгілі бір маңайында анықталып

. (4.15)

шарты орындалуы керек. Кейде (4.15) шарты

.

түрінде қолданылады.

Егер локальді максимум немесе локальді минимум нүктесі болса, онда оны локальді экстремум нүктесі деп атайды.

6-теорема (Ферма теоремасы). Егер функциясы үшін х _о локальді экстремум нүктесі болып, сол нүктеде -тің ақырлы туындысы бар болса, онда сол туындының мәні нөлге тең болады.

Ескертулер. 1. Экстремумның анықтамасындағы шарт функциясының нүктесінің екі жақты маңайында орындалуы дифференциалдау теориясын пайдалану үшін қажет.

2. Кері тұжырым дұрыс емес, яғни болса да, нүктесі экстремум нүктесі болмауы мүмкін.

Мысалы, үшін болғанда , бірақ экстремум нүктесі емес

4.7-теорема (Ролль теоремасы). функциясы сегментінде анықталып, келесі шарттар орындалсын:

1) сегментінде үзіліссіз,

2) интервалында дифференциалдансын,

3) болсын.

Онда шартын қанағаттандыратын кемінде бір нүктесі табылады.

4.8-теорема (Лагранж теоремасы). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болып, интервалында дифференциалданса, онда

(4.16)

теңдігі орындалатын кемінде бір нүктесі табылады.

(4.16) - формуланы Лагранж формуласы немесе ақырлы өсімшелер формуласы деп те атайды.

4.9-теорема (Коши теоремасы). Егер және функциялары сегментінде үзіліссіз болып, интервалында дифференциалданса, онда

. (4.17)

теңдігі орындалатын кемінде бір нүктесі бар болады.

4-дәріс. Анықталмаған интеграл

және функциялары сан аралығында анықталған және үзіліссіз функция болсын.

Анықтама. Егер аралығында дифференциалданатын функциясы

немесе (1)

теңдіктерін барлық үшін қанағаттандырса, онда осы аралықта үзіліссіз функциясы функциясының алғашқы функциясы деп аталады.

Мысалы, функциясының алғашқы функциясы болады. Шынында да, .

Бұл функцияның алғашқы функциясы бір мәнді болмайды, себебі немесе жалпы функциясы да С – ның кез келген мәнінде функциясының алғашқы функциясы болады, яғни .

Қорыта айтқанда, егер берілген f (x) функциясының алғашқы функциясы F(x) болса, онда бұдан басқа алғашқы функциялардың түрі болады.

Анықтама. аралығындағы функциясының барлық алғашқы функцияларының жиыны осы функцияның анықталмаған интегралы деп аталады.

Оны таңбасымен белгілейді.

Алғашқы функциялардың бар болуы туралы негізгі теорема.

Теорема. Кез келген үзіліссіз функцияның шексіз көп алғашқы функциялары болады. Егер функциясының алғашқы функцияларының бірі болса, кез келген басқасын түрінде өрнектеуге болады:

, (2)

мұндағы анықталмаған интеграл таңбасы, - айнымалысының дифференциалы, - интеграл астындағы өрнек, ал - интеграл астындығы функция, - интегралдау айнымалы; С –тұрақты.

Берілген функцияның алғашқы функциясын табу интегралдау амалы деп аталады.

Теорема (анықталмаған интегралдың бар болу шарты). Егер функциясы үзіліссіз болса, онда оның анықталмаған интегралы бар болады.

Мысалдар. 1. , себебі .

2. , себебі .

3. , себебі .

Анықталмаған интегралдың қасиеттері. Анықталмаған интегралдың анықтамасынан келесі қасиеттер шығады:

1⁰. Анықталмаған интегралдан алынған туынды интеграл астындағы функцияға, ал анықталмаған интегралдан алынған дифференциал интеграл астындағы өрнекке тең:

, ;

2⁰. Функция дифференциалынан алынған анықталмаған интеграл берілген функцияның өзі мен ерікті тұрақтының қосындысына тең:

;

3⁰. Егер - тұрақты сан болса, онда тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады:

;

4⁰. Алгебралық қосындының анықталмаған интегралы жеке қосылғыштардан алынған интегралға тең:

;

5⁰. Егер функциясы функциясы үшін алғашқы функция, яғни , болса, онда

,

мұндағы және - тұрақты сандар.

Анықталмаған интегралдардың негізгі кестесі.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. , , . 8. .

9. 10. .

11. 12.

13. .

14. =, .

15. . = .

16. =.

17. 18.

19. 20.

Мысалдар. 1. .

2.

.

3. .

1. Интегралдаудың негізгі әдістері

Интегралдаудың негізгі әдістері: тікелей интегралдау, айнымалыны алмастыру арқылы интегралдау, бөлiктеп интегралдау.

Тікелей интегралдау әдiсi

Интеграл астындағы функцияны түрлендіріп, анықталмаған интегралдың қасиеттері мен интегралдар кестесін қолданып интегралдауды тікелей интегралдау әдісі деп атайды.

Мысалдар. 1.

2.

3.

4. .

Айнымалыны ауыстыру әдісі

Интегралдағы х айнымалысының орнына жаңа t айнымалысын енгізіп, берілген интегралын тікелей интегралданатын кестелік интегралдардың біріне келтіруге болады. Бұл интегралдау әдісін айнымалыны ауыстыру әдісі деп атайды. Бұл әдістің негізі күрделі функциялардың дифференциалдау формуласы болып табылады.

Теорема. Анықталмаған интегралындағы х айнымалысының орнына формуласы бойынша жаңа t айнымалысын енгізсек, берілген анықталмаған интеграл үшін

(3)

теңдігі орындалады.

Есеп шығарғанда интегралдың жауабын бастапқы айнымалы арқылы жазу керек.

Мысалдар. 1.

Шешуі. Квадрат түбірден құтылу үшін деп жаңа t айнымалы енгіземіз. Сонда және ауыстыруларын жасап, берілген интегралды кестелік интегралға келтіреміз:

Интегралдың нәтижесін, теңдігін ескеріп, бастапқы айнымалы арқылы жазамыз:

2.

.

Интегралдың нәтижесін, теңдігін ескеріп, бастапқы айнымалы арқылы жазамыз:

.

3. .

Салдар. Айталық, және функциялары үзіліссіз болсын, онда

. (5.4)

Дифференциал таңбасы астында кез келген функцияның алғашқы функциясына тұрақтыны қосып немесе алып пайдаланғаннан дифференциалдың мәні өзгермейді, яғни .

Дифференциал мен интегралдың қасиеттерін пайдаланып интегралдауды дифференциал таңбасы астына енгізу әдісі деп атайды.

Дата добавления: 2014-01-07