Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Вправи

Лінійна залежність і лінійна незалежність

Додавання рядків однієї довжини це додавання відповідних елементів. Множення рядка на число це множення всіх елементів рядка на це число.

Означення 1. Рядки (однієї довжини) називаються лінійно залежними, якщо один з них можна виразити через інші з допомогою додавання і множення на число. Аналогічно лінійно залежними можуть бути стовпчики, вектори, функції, рівняння.

Рядки називаються лінійно незалежними, якщо жоден з них не виражається через інші.

Зауваження. Якщо серед рядків є нульовий рядок, то очевидно, що він виражається через інші (взяти нульові коефіцієнти), тобто така сукупність є лінійно залежною. Тому один нульовий рядок теж називають лінійно залежним.

Означення 2. Рядки p₁, p₂,…, p_n називаються лінійно залежними, якщо існують числа 𝜆₁, 𝜆₂,…, 𝜆_n, не всі рівні нулю, що виконується рівність:

𝜆₁×p₁ +𝜆₂×p₂+…+𝜆_n×p_n = 0. (0 – нульовий рядок)

Ліва частина цієї рівності називається лінійною комбінацією рядків з коефіцієнтами 𝜆₁, 𝜆₂,…, 𝜆_n.

Якщо лінійна комбінація рядків дорівнює нульовому рядку тільки при всіх нульових коефіцієнтах, то рядки називаються лінійно незалежними.

Теорема. Означення 1 і означення 2 еквівалентні.

Доведення. Нехай p₁, p₂,…, p_n лінійно залежні рядки за означенням 1, тобто

наприклад, p_n лінійно виражається через інші p_n = с₁×p₁+с₂× p₂+…+с_n-1×p_n-1 .

Перенесемо всі доданки в праву частину: с₁×p₁+с₂× p₂+…+с_n-1×p_n-1 - p_n =0.

Коефіцієнт біля p_n дорівнює -1 (¹0). Тому також є лінійна залежність за означ.2.

Навпаки, якщо p₁, p₂,…, p_n лінійно залежні за означенням 2:

𝜆₁×p₁ +𝜆₂×p₂+…+𝜆_n×p_n = 0, і наприклад 𝜆_n¹0. То можна виразити рядок р_n через інші:

р_n = (-𝜆₁ / 𝜆_n)×p₁ +(-𝜆₂ / 𝜆_n)×p₂+…+(-𝜆_n-1 / 𝜆_n)×p_n-1, тобто рядки лінійно залежні за означ.1.

1. Якщо серед рядків є нульовий, то вони лінійно залежні.

2. Якщо серед рядків є однакові рядки, або пропорційні, то вони також лінійно залежні.

3. Якщо до лінійно залежних рядків добавити деяку кількість рядків, то нова сукупність рядків залишиться лінійно залежною.

Властивість визначників 11. Визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) лінійно залежні.

Доведення. Достатність. Нехай рядки p₁, p₂,…, p_n визначника лін. залежні, тобто

𝜆₁×p₁ +𝜆₂×p₂+…+𝜆_n×p_n = 0, і наприклад 𝜆_n¹0. Поділимо рівність на 𝜆_n:

(𝜆₁ / 𝜆_n)×p₁ +(𝜆₂ / 𝜆_n)×p₂+…+(𝜆_n-1 / 𝜆_n)×p_n-1, +р_n = 0. Отже, якщо ми до рядка р_n додамо попередні, помножені на числа (𝜆_і / 𝜆_n), то визначник не зміниться, але на місці рядка р_n отримаємо нульовий рядок, тобто визначник дорівнює нулю.

Необхідність. Нехай визначник D =0. Якщо в нього є нульовий рядок, то рядки вже лінійно залежні. Припустимо, що немає нульового рядка. Отже, в першому рядку є ненульовий елемент а_1і. З допомогою додавання помноженого його на числа до інших рядків в і-тому стовпці під а_1і можна зробити всі нулі. При цьому будь-який (не перший) рядок стане лінійною комбінацією його самого з коефіцієнтом 1 і першого рядка. Якщо після цієї операції появиться нульовий рядок, то це означає, що початкові рядки теж були лінійно залежними. Знайдемо в другому рядку ненульовий елемент а_2j в деякому j-тому стовпці (j¹i) і, додаючи помножений другий рядок до інших рядків, зробимо всі нулі в даному j-тому стовпці, крім а_2j. (При цьому і-тий стовпець не зміниться.) Якщо ще не буде нульового рядка, то повторюючи цю операцію n разів, ми прийдемо до визначника, в якому в кожному рядку і стовпці буде по одному ненульовому елементу, тобто цей визначник дорівнює добутку цих ненульових елементів із деяким знаком. Тому D ¹0. Протиріччя. Отже, на деякому кроці ми все ж таки отримаємо нульовий рядок, що й означатиме, що рядки лінійно залежні.

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається система вигляду:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ x_i - невідомі

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂ a_{ij –} коефіцієнти – відомі числа

… b_i – вільні члени – відомі числа

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Невідомі можна позначати x, y, z,... Алгебраїчна, бо зустрічаються тільки дії додавання і множення, Лінійна, бо невідомі входять не більш як в першому степені.

Розмір системи (m x n), де m – кількість рівнянь, n – кількість невідомих.

Пр. 2x+y=-1 Система лінійних алгебраїчних рівнянь (2х2).

x – 2y=7

Система називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю.

Якщо хоча б один вільний член не нуль, то система неоднорідна.

Розв’язок системи – це сукупність значень невідомих, при підстановці яких в систему отримаємо всі правильні рівності.

Несумісна система - це система, яка не має розв’язків. (Відповідь. Ø)

Однорідна система не може бути несумісною, бо завжди має нульовий розв’язок (0; 0;...;0).

Еквівалентні системи – це системи, в яких однакові розв’язки.

Теорема. Система лінійних алгебраїчних рівнянь може мати один розв’язок, жодного розв’язку або безліч розв’язків.

Доведення. Якщо є два різні розв’язки () і (), то можна побудувати ще один новий розв’язок – їх середнє арифметичне

(), і аналогічно потім ще і ще.

Вам відомі такі методи розв’язування систем: виключення змінних шляхом підстановки або додавання рівнянь та для систем (2х2) графічний метод. Розглянемо метод розв’язування систем з допомогою визначників – метод Крамера.

Якщо в системі кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, то система називається квадратною.

Теорема Крамера. Якщо головний визначник квадратної системи не дорівнює нулю, тоді система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

х₁=; х₂=; …;х_n=, де

- це допоміжні визначники, отримані з головного визначника заміною відповідного стовпчика на вільні члени:

,і т.д.

Доведення. Домножимо рівняння системи на відповідні алгебраїчні доповнення до елементів першого стовпця і додамо.

A₁₁ · a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁

A₂₁ · a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂

x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁)=x₁Δ; x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁)=0;

x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁)+ x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁)=b₁A₁₁+b₂A₂₁; b₁A₁₁+b₂A₂₁=Δ₁, за властивістю Лапласа для першого стовпця

x₁Δ=Δ₁; Δ0; х₁=; аналогічно для х₂,…,х_n

Отже, розв’язок може бути тільки один. Ще треба перевірити чи ця пара чисел справді є розв’язком. Підставимо її в перше рівняння початкової системи: a₁₁Δ₁/Δ+ a₁₂Δ₂/Δ=b₁ | · Δ a₁₁Δ₁+ a₁₂Δ₂=b₁ Δ

a₁₁(b₁A₁₁ +b₂A₂₁)+ a₁₂(b₁A₁₂ +b₂A₂₂)= b₁ (a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂)

Підкреслені вирази в лівій і правій частині співпадають після розкривання дужок, а те що залишається в лівій частині: b₂ (a₁₁A₂₁+a₁₂A₂₂)=0 за останньою властивістю визначників.

Пр. 2x+y=-1 Квадратна система лінійних алгебраїчних рівнянь (2х2).

x – 2y=7

-- можна використати метод Крамера.

,

х==-5/(-5)=1; y==15/(-5)=-3; Перевірка: 2·1+(-3)=-1, 1-2·(-3)=7 вірно.

Відповідь. {(1;-3)}.

Теорема про несумісну систему. Якщо в квадратній системі головний визначник дорівнює нулю, а хоча б один з допоміжних визначників Δ_і не дорівнює нулю, то система несумісна.

Доведення. Аналогічно як в доведенні теореми Крамера, отримаємо рівняння

x_іΔ=Δі, яке очевидно не має розв’язків.

Пр. 3х-4y+5z=-2 Квадратна система лінійних алгебраїчних рівнянь (3х3).

2x+3y-z=1 Можна дослідити з допомогою визначників.

x-7y+6z=1

-2 -3

=(однакові рядки).

Не можна використати метод Крамера.

2 -1

==

=1(-1)-- система не має розв’язків.

Відповідь. Ø.

Дата добавления: 2014-01-07