Колебания и волны

Лекция №1

1. Гармонический осциллятор. Колебательные системы в биологии и медицине.
2. Механические волны, их уравнение. Вектор Умова. Ультразвук, его применение в медицине.
3. Эффект Доплера, его медицинские приложения

Колебания гармонического осциллятора являются очень важным примером периодического движения. К числу классических систем, аналогичных гармоническому осциллятору, относятся любые системы, которые, будучи слегка выведены из положения равновесия, совершают устойчивые колебания. К ним относятся:

1. Математический маятник в пределах малых углов отклонения.
2. Масса на пружине в пределах малых амплитуд колебаний
3. Колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки

Частота колебаний осциллятора не зависит от амплитуды.

Математический маятник состоит из материальной (.) массой m, расположенной на нижнем конце невесомого стержня длиной L, свободно вращающегося вокруг оси, проходящей через верхний конец.

Выведем уравнение колебаний маятника. Проще всего записать уравнение F=ma, однако поучительнее будет решить поставленную задачу через закон сохранения энергии. Отклонение маятника определяется углом , который стержень образует с вертикалью.

(1)

Потенциальная энергия маятника

U()=Mgh (2)

(3)

Кинетическая энергия маятника равна

(4)

Полная энергия маятника равна (5)

Принимая во внимание, что (6),

(7)

Решая это уравнение относительно находим

(8)

При . Тогда из (7) получим с учетом того, что :

, (9)

Тогда (8) перепишется в виде:

(10)

Или (11)

Этот вид удобен для интегрирования. Если начальные условия Иаковы, что при , то

(12)

(13)

Так как , то (13) запишется (14)

Или (15)

Где -круговая частота

-фаза

Период колебаний математического маятника

пружинного

колебательного контура

Примеры решения задач

Материальная точка массой 5 г. колеблется согласно уравнению . Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию.

Решение

Сила, действующая на матер. точку, равна . Ускорение может быть найдено как вторая производная смещения по времени. Первая производная . Вторая производная . Максимальное значение косинуса -1, и

Дата добавления: 2014-01-07