Течение и свойства жидкостей

Лекция 2

1.Идеальная жидкость. Основные определения. Движение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли.

2.Движение вязкой жидкости. Уравнение Ньютона. Формула Пуазейля.

3.Модель кровообращения Франка. Электрическая модель кровообращения. Пульсовая волна. Формула Моенса-Кортевега.

Система кровообращения служит для постоянного снабжения клеток питательными веществами и газами, для обмена продуктами жизнедеятельности клеток, а также переноса тепла. Она представляет собой разветвленную и замкнутую цепь сосудов различного калибра. В этом она сходна с водопроводной системой, также предназначена для обмена водой и теплом между источником и многочисленными потребителями. В обеих системах движущей силой является давление, создаваемое на входе в систему и в участках выхода. Этой цели служит генератор давления, которым в системе кровообращения является сердце, а в водопроводной системе – насос.

Движение жидкости или крови всегда происходит от участка с более высоким давлением к участку со сниженным давлением, поэтому движение крови подчиняется тем же закономерностям, которые определяют движение жидкости в любой гидродинамической системе.

1. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью называется идеальной. Уравнение неразрывности: произведение площади поперечного сечения трубки на скорость движения жидкости есть величина постоянная

(1)

Пусть по наклонной трубке тока переменного сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями и в которых скорости течения равны соответственно и .

Определим изменение полной энергии в этой области за промежуток времени . За это время масса жидкости заключенная между сечениями и , втекает в рассматриваемую область, а масса заключенная между и, вытекает из нее.

Полная энергия жидкости

(2)

Или (3)

должна равняться работе внешних сил по перемещению массы =(4)

Определим . Внешняя сила давления F₁ совершает работу по перемещению втекающей массы на пути ; в то же время вытекающая масса совершает работу против внешней силы F₂ на пути поэтому

, ,

Учитывая, что и , где P₁ и P₂-давления на сечениях S₁ и S₂, получим , но

Где -объем каждой из рассматриваемых масс, поэтому (5)

Объединяя формулы 3, 4, 5, получим:

Поделив обе части на и учитывая, что , получим

Поскольку S₁ и S₂ выбраны произвольно

- уравнение Бернулли

В идеальной несжимаемой жидкости сумма динамического, гидравлического и статического давлений постоянна на любом поперечном сечении потока.

Для горизонтальной трубки уравнение Бернулли принимает вид

Из уравнения Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.

1. При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называется внутренним трением или вязкостью.

Рассмотрим движение жидкости между двумя твердыми пластинками, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью . Слой, прилипший ко дну, неподвижен. Максимальная скорость будет у слоя, «прилипшего» к верхней пластинке.

- уравнение Ньютона.

-градиент скорости, S- площадь соприкасающихся слоев жидкости, -коэффициент вязкости.

Жидкости, подчиняющиеся уравнению Ньютона, называются ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению Ньютона, называются неньютоновскими. Вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, неньютоновских-аномальной.

Кровь является неньютоновской жидкостью.

Примаеры решения задач

В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью . Определить скорость течения воды в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой ее частях равна

Решение

Запишем уравнение Бернулли

Формула Пуазейля

Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости неподвижен.

Для установления зависимости выделим мысленно цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l. На торцах этого цилиндра поддерживаются давления P₁ P_2, что обуславливает результирующую силу.

(1)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная

(2)

Где -площадь боковой поверхности цилиндра. F=F_тр(3)

Знак (-), так как (4)

Проинтегрируем это уравнение: (5)

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r=0):

Определим объемную скорость кровотока Q. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Площадь сечения этого слоя . За 1с. Слой переносит объем жидкости (6)

(5)(6) получим

- Формула Пуазейля (7)

Через трубу протекает тем больше жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.

Формула Пуазейля аналогична закону Ома для участка цепи. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока-объемной скорости, электрическое сопротивление-гидравлическому сопротивлению

(8)

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость , длина l трубы и меньше сечение.

Примеры решения задач

1. При чуме артерия сужается в 2 раза. Во сколько раз изменится объемная скорость кровотока?

Решение:

По формуле Пуазейля

1. Каково гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда длиной 0,12м и радиусом 0,1мм?

Решение: Из формулы (8) для гидравлического сопротивления

1. Модель кровообращения Франка

Модель позволяет установить связь между ударным объемом крови (объем крови, выбрасываемый желудочком за одну систолу), гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения х₀ и изменением давления в артериях. Артериальная часть системы кровообращения моделируется упругим (эластичным) резервуаром (УР).

В УР (аретерия)поступает кровь из сердца Q. От УР кровь оттекает с о.с.к.Q₀ в периферическую систему (артериолы, капилляры). Объем крови в УР зависит от P:

V=V₀+kP (1)

Где k-упругость резервуара;V₀-объем УР при P=0, из (1) (2)

(3), т.е. объемная скорость кровотока из сердца равна скорости возрастания объема УР скорости оттока крови из упругого резервуара.

На основании формулы Пуазейля и формулы (8) можно записать для периферии:

(4), где P-давление в УР; P_в-венозное давление. При P_в=0

(5)

Подставляя (2) и (5) в (3), получим (6)

Во время систолы (сокращение сердца) происходит расширение УР, во время диастолы - отток крови к периферии, Q=0. Тогда (6) перепишется:

Проинтегрировав (9), получаем зависимость давления в УР после систолы от времени:

(8)

На основе механической модели по аналогии можно построить электрическую модель.

Здесь источник U переменного Эл.напряжения служит аналогом сердца, выпрямитель В-сердечного клапана.

Конденсатор С в течение полупериода накапливает заряд, а затем разряжается на резистор R, так сглаживается сила тока через резистор. Действия конденсатора аналогично действию упругого резервуара, который сглаживает колебание давления крови в артериях и капиллярах. Резистор является электрическим аналогом периферической сосудистой системы.

Пульсовая волна- это распространяющаяся по аорте и артериям волна повышенного давления, вызванная выбросом крови из левого желудочка в период систолы.

Скорость пульсовой волны в крупных сосудах определяется выражением:

, где Е-модуль упругости, - плотность вещества сосуда, h-толщина стенки сосуда, d-диаметр сосуда.

Примеры решения задач

1. Скорость пульсовой волны в артериях составляет 8 м/с. Чему равен модуль упругости этих сосудов, если известно, что отношение радиуса просвета к толщине стенки сосуда равно 6, а плотность крови равна 1150кг/м³?

Решение:

По формуле Моенса-Кортевега

1. Определить среднюю линейную скорость кровотока в сосуде радиусом 1,5 см, если во время систолы через него протекает 60мл крови. Длительность систолы считать равной 0,25с.

Решение:

Дата добавления: 2014-01-07