Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

По символам атомных рядов

Определение символа атомной плоскости

План лекции

Связь между символами плоскостей и направлений

Лекция 3. Кристаллографическая символика.

 

1. Связь между символами плоскостей и направлений в кристаллах кубической сингонии.

2. Кристаллографическая символика в гексагональной сингонии.

 

 

Пусть атомная плоскость задана с помощью двух принадлежа­щих ей непараллельных друг другу атомных рядов, которые описываются соответствующими символами [u1v1w1] и [u2v2w2]. Подобное определение плоскости эквивалентно заданию плос­кости с помощью трех точек с координатами: [[u1v1w1]], [[u2v2w2]] и [[0; 0; 0]], поскольку две первые точки соответствуют координатам радиусов-векторов и , исходящими из третьей точки - начала координат [[0; 0; 0]].

Запишем уравнение плоскости (hkl) проходящей через на­чало координат: hx+ky+lz=0 и определим искомые индексы плоскости из условий принад­лежности точек [[u1v1w1]] и [[u2v2w2]] этой плоскости:

 

hu1+kv1+lw1=0; hu2+kv2+lw2=0;

 

После умножения первого уравнения на w2, и второго уравне­ния на (-w1)и их сложения получим отношение индексов h и k, которое выражено через индексы двух заданных направле­ний:

h:k=(v1 w2 – v2 w1):(w1 u2 – w2 u1)

Аналогичным образом можем получить отношение для индек­сов k и l:

k:l=(w1 u2 – w2 u1):(u1 v2 – u2 v1)

Объединяя оба отношения, получим решение поставленной за­дачи в общем виде:

h:k:l=+-(v1w2 – v2w1):(w1u2 – w2u1):(u1v2 – u2v1) (3.1)

Для удобства вычисления индексов плоскости по заданным индексам принадлежащих этой плоскости направлений исполь­зуют мнемоническое правило «перекрестного умножения». Для этого каждый из символов направлений записывают по два раза подряд - в строчку так, чтобы в одной строке были ин­дексы одного направления и чтобы одноименные индексы при такой записи оказались в одинаковых столбцах:

 

 

Затем, отбрасывая крайние столбцы и выполняя перемно­жение в соответствии со стрелками, т. е. крест-накрест, полу­чают результат, отвечающий формуле (3.1):

h:k:l=(v1 w2 – v2 w1):(w1 u2 – w2 u1):(u1 v2 – u2 v1)

Пользуясь правилом перекрестного умножения, найдем сим­вол атомной плоскости АВС, проходящей через три вершины куба (рис. 3.1), по заданным символам диагоналей его граней ВС и АВ :

Таким образом, искомый символ плоскости АВС мы опреде­лили с точностью до знака: ±(111), поскольку выбранный по­рядок перемножения символов может быть произвольным.

Отметим важный результат, который можно получить, под­ставляя отношение (3.1) в выра­жение для нормали к плоскости.

При равенстве осевых единиц и взаимной перпендикулярности базисных векторов (т.е. для ку­бических кристаллов, для описа­ния которых применяется при­вычная декартова система координат) выражение для нормали принимает следующий вид:

Тогда в соответствии с отношением u:v:w=m:n:p, символ, определяющий направление нормали , принимает вид [hkl], поскольку числа h, k, l являются координатами вектора нормали. Таким обра­зом, в данном случае (и только в данном случае) численные значения индексов плоскости (hkl) и направления ее нормали [uvw] совпадают: h=u, k=v, l=w.

Например, нормаль к плоскости кубического кристалла описывается с помощью таких же индексов -

 

Рис. 3.1. Определение символа атомной плоскости АВС в кубе.

 

 


3.2. Определение символа атомной плоскости по координатам трёх

узлов пространственной решётки

Положение атомной плоскости в кристалле наряду с описан­ными методами может быть также определено с помощью сов­мещенных с этой плоскостью трех узлов пространственной ре­шетки.

Пусть заданы координаты трех узлов пространственной ре­шетки.

М1[[m1; n1; p1]], М2[[m2; n2; p2]], М3[[m3; n3; p3]],

Тогда отношение индексов атомной плоскости можно опреде­лить с помощью трех детерминантов:

(3.2)

С помощью формулы (3) определим символ плоскости, заданной тремя точками М1[[1; 1/2; 1]], М2[[1/2; 1; 1]], М3[[1; 1; 1/2]]:

 

 

В результате получим символ плоскости (111).

В заключение отметим, что индексы плоскости h, k, l в боль­шинстве случаев выражаются небольшими (однозначными) числами, что непосредственно связано с законом Бравэ. Действительно, наиболее плотноупакованным граням кристалла соответствуют сравнительно высокая ретикулярная плотность, высокая вероятность образования грани на растущем кристалле и небольшие численные значения индексов. Так, с уменьшением ретикулярной плотности r атомных плоскостей увеличиваются значения индексов (рис. 3.2).

 
 

 


3.3. Определение символов граней и направлений по методу

косинусов в кубической решетке

Положение любой грани кристалла (h k l) (или плоскости в решетке) определяется углами, которые составляют нормаль к этой грани с осями координат. Плоскость АВС отсекает на осях координат отрезки ОА, ОВ, ОС (рис.3.3)

Из начала координат опущен перпендикуляр на плоскость АВС. Нормаль ОР образует с осями координат углы

Из чертежа вытекает, что ; ; .

 

Если ОА=m, ОВ=n, OC=p, то .

С другой стороны

В результате, для кубических кристаллов , то есть составив отношение направляющих косинусов легко получить символ грани.

Символ направлений связан с направляющими косинусами соотношением , в котором углы между соответствующими кристаллографическими осями и направлением.

 
 

 

 


Рис. 3.3. К выводу соотношения между индексами и направляющими косинусами грани.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Символы плоскостей (граней) | Кристаллографическая символика в гексагональной сингонии
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1364; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.