Точки экстремума

Определение: Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции y=f(x), если: 1) эта точка является внутренней точкой области определения и 2) существует такая окрестность точки , что для любого х, принадлежащего этой окрестности (кроме х= ) выполнено условие f( )> f(x) (f( )< f(x))

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значение функции в этих точках называется максимумом (минимумом) или экстремумом.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум в одной точке может оказаться больше максимума в другой точке. Наличие максимума(минимума) не означает, что f принимает наиб.(наим.) значение.

Теорема: (необходимое условие экстремума)

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке , необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась 0 или не существовала

f¢(x) =0 f¢(x) =0 f¢(x) не сущ. f¢(x) не сущ.

экстр. есть экстр. нет экстр. есть экстр. нет

Теорема: (достаточное условие экстремума)

Для того, чтобы функция y=f(x), определенная на интервале (a;b) и непрерывная в точке этого интервала имела максимум (минимум) в точке , достаточно, чтобы при переходе через эту точку производная меняла знак с «+» на «-» (с «-» на «+»).

Пример: Найти точки экстремума функции

-1 ½ 5

׀ ׀ ׀

.

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема: (второе достаточное условие экстремума)

Если в точке 1-ая производная функции равна 0 (f¢(x) =0), а 2-ая производная в точке существует и отлична от 0 (), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

Пример: Найти точки экстремума функции .

- стационарные точки

Данное условие применяют, если поиск знака 1-ой производной затруднен. Например, для тригонометрических функций.

Замечание: Второе условие экстремума имеет более узкий круг применения по сравнению с первым. Оно не применимо к точкам, в которых не существует 1-ой производной и в которых 2-ая производная обращается в 0.

Дата добавления: 2014-01-07