Вычисление пределов некоторых последовательностей.

Вычисление пределов некоторых последовательностей.

Неравенство Бернулли. (1+x)ⁿ³1+nx, "x³-1, "nÎN.

Доказательство (метод мат. индукции).

1) Найти (a>0).

Если 0<a<1, то aⁿ - бесконечно малая, а n! – бесконечно большая, т.е. =0 . При а=1 имеем =0 .

Пусть а>1. В этом случае отношение представляет неопределенность .

Обозначим =х_n. Имеем

x_n+1=== х_n

Как только n+1>a (т.е. n>a-1) последовательность х_n становится строго убывающей. Последовательность х_n ограничена снизу (например, числом 0) Следовательно, по теореме 2, последовательность имеет предел. Обозначим этот предел через с.

Чтобы его найти, перейдем к пределу в равенстве x_n+1= х_n.

Т.к. х_n+1 пробегает ту же последовательность значений, что и х_n (с точностью до первого члена), то х_n+1 имеет тот же предел с. Имеем:

=Ûc=c×0Þc=0.

Т.о. при a>1 =0.

2) Показать, что =1 a>0.

Возьмем произвольное число e>0 и рассмотрим . Тогда

=а=а=а×0=0 (т.к. (1+e)^-1<1, т.е. б.м.)

Дата добавления: 2014-01-07