Понятие числового ряда. Сумма ряда

Лекция 8.1 Числовые ряды.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел: .

Определение. Числовым рядом называется выражение: (1),
где - члены ряда, образующие известную числовую последовательность, - общий член ряда.

Пример.

1) ;

2) ;

3) .

Основное понятие, связанное с рядом чисел – сумма ряда. Было бы бессмысленно определять сумму ряда как сумму всех его членов (понятие суммы чисел в элементарной математике рассматривается только для конечного числа слагаемых). Определяя сумму ряда как сумму бесконечно большого числа слагаемых, необходимо использовать другой подход. Введём понятие так называемой частичной суммы ряда

Определение. n-ой частичной суммой ряда называется сумма конечного числа n первых членов ряда: .

Таким образом, можно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

Определение. Суммой S ряда (1) называют предел последовательностей его частичных сумм при , т.е. .

Сумма существует не у каждого ряда, например, у ряда сумма не существует, т.к. .

Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм: .

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Например: - ряд сходящийся, - ряд расходящийся.

Постановка двух основных задач теории рядов:

1) Исследовать ряд на сходимость;

2) Если ряд сходится – найти его сумму (точно и приблизительно).

Поэтому следующий вопрос посвящён исследованию рядов на сходимость – признакам сходимости.

Дата добавления: 2014-01-07