Лекция 8 . Монотонные функции. Производная

П.1 Монотонные функции.

ОПР. Функция : называется возрастающей на множестве E, обозначение , если

.

ОПР. Функция : называется строго возрастающей на множестве E, обозначение , если

.

ОПР. Функция : называется убывающей на множестве E, обозначение , если

.

ОПР. Функция : называется строго убывающей на множестве E, обозначение , если

.

ТЕОРЕМА 1. Если на , то существует и , где - множество значений функции на .

ДОК. (1) Пусть = +. Тогда . Выберем .Тогда и поэтому , т.е. .

(2) Пусть =В. Тогда .

Выберем . Тогда и поэтому , т.е..

(3) Пусть = - ¥. Тогда .

Выберем .Тогда и поэтому , т.е. .

(4) Пусть = А. Тогда .

Выберем , тогда и поэтому ,т.е. .

СЛЕДСТВИЕ 1. Если на , то для любого существуют и .

ТЕОРЕМА 2. Если на , то существует и , где - множество значений функции на .

ДОК. Достаточно применить теорему 1 для функции .

СЛЕДСТВИЕ 2. Если на , то для любого существуют и .

ТЕОРЕМА 3.(о существовании обратной функции)

Если (или ) непрерывная функция на [a;b], то существует и единственная обратная к ней функция , определенная на отрезке и непрерывная, строго возрастающая (или убывающая) на этом отрезке.

ДОК. Пусть и непрерывна на [a;b]. Тогда и для любого существует и единственное значение , для которого . Действительно, если таких значений два и , например , то . Положим . Тогда на , т.е. обратная к функция. Докажем ее непрерывность на . Пусть произвольная точка интервала и . Тогда для любого

существует такое, что выполняется неравенство . Строгое возрастание функции следует из неравенств: .

Непрерывность функции в граничных точках и следует из теоремы 1: ,

П.2. Производная функции в точке.

ОПР. . Производной функции в точке , называют число .

ПРИМЕР 1 Вычислить производную функции в произвольной точке x.

РЕШЕНИЕ. .

МЕХАНИЧЕСКИЙ смысл производной.

- путь, пройденный материальной точкой к моменту времени t,- расстояние, пройденное точкой за время ,- средняя скорость движения,

- скорость в момент времени t.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл производной.

Точки и на графике функции соединены прямой L_сек – секущей, -

угловой коэффициент прямой L_сек .

При прямая L_сек поворачивается вокруг точки А, занимая предельное положение - - касательной к графику функции в точке А.

- угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной. Производная функции в точке x равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x.

ТЕОРЕМА 4 (о непрерывности дифференцируемой функции)

Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

ДОК. .

Тогда , где - бесконечно малая функция в точке ., т.е. .

ПРИМЕР 2. Функция непрерывна в точке , но не имеет производной в этой точке.

РЕШЕНИЕ. - бесконечно малая функция в точке , т.е.функция непрерывна в точке .Функция не имеет предела в точке , поскольку ,и пределы справа и слева не совпадают.

ТЕОРЕМА 5. (арифметическая теорема о производных)

Если функции и имеют производную в точке , то

(1)

(2)

(3), при .

ДОК. (2)

,

т.к. функция непрерывна в точке (теорема 4).

(3) , поскольку при функция

непрерывна в точке (теорема 4).

(1) доказать самостоятельно.

УПРАЖНЕНИЯ.

1) Докажите непосредственно, что .

2) Найдите функцию обратную к функции на .

3) Функция . Найдите производную функции в точке .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Монотонные функции. Теорема о существовании предела монотонной функции.

2) Теорема о существовании и непрерывности обратной

функции.

3) Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Примеры.

4) Теорема о непрерывности функции, имеющей производную.

5) Арифметическая теорема о производных.

Дата добавления: 2014-01-07