Рациональные дроби

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

Если , то рациональная дробь называается правильной. В противном случае дробь – неправильная. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (частного) и правильной рациональной дроби путём деления многочлена, стоящего в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе.

Пример.

- неправильная рациональная дробь.

Данную неправильную рациональную дробь теперь можно представить в следующем виде.

С учётом показанного, в дальнейшем будем рассматривать только правильные рациональные дроби.

Существуют так называемые простейшие рациональные дроби – это дроби, не поддающиеся никакому упрощению. Эти простейшие дроби имеют вид:

Правильную рациональную дробь более сложного вида всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей. Набор дробей определяется набором корней многочлена, стоящего в знаменателе правильной несократимой рациональной дроби. Правило разложения дроби на простейшие следующее.

Пусть рациональная дробь представлена в следующем виде.

Здесь в числителе простейших дробей стоят неизвестные коэффициенты, которые всегда могут быть определены методом неопределённых коэффициентов. Суть метода состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях Х у многочлена, стоящего в числителе исходной дроби и многочлена, стоящего в числителе дроби, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю.

Пример.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Х.

Решая систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов, получим.

Итак, данная дробь представима набором следующих простейших дробей.

Приведением к общему знаменателю убеждаемся в правильности решения задачи.

Вопросы для самоконтроля

1. Понятие комплексного числа.

2. Геометрическое изображение комплексного числа.

3. Сложение и вычитание комплексных чисел.

4. Умножение и деление комплексных чисел.

5. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

6. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Тема 8 «Неопределённый интеграл»

Дата добавления: 2014-01-07