Оценка стоимости американских опционов в условиях биноминальной модели

Рассмотрим американские опционы колл и пут на активы с постоянной дивидендной доходностью q, цена исполнения которых X, а дата истечения T.

Предположим, что цена исходных активов на временном промежутке [t,T] определяется n-этапной биноминальной моделью.

Будем считать, что рынки удовлетворяют следующим условиям:

· являются совершенными;

· можно неограниченно кредитовать и брать ссуды под безрисковую процентную ставку, которая не меняется с течением времени;

· отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

Обозначим через и стоимости американских опционов колл и пут соответственно в момент времени t+kh, при улови, что опцион не исполняется до этого момента, а цена исходных активов поднималась i раз (k= 0,1,2, …n, i= 0,1,2,3,…k).

Очевидно, что имеют место следующие равенства:

Рассмотрим теперь момент времени t+kh. Если до этого момента цена исходного актива поднималась I раз, то в момент времени t+kh она примет значение z. Кроме того, в этом случае стоимость американского опциона колл будет равна:

где

Следовательно, принимая решение об исполнении американского опциона колл в момент t+kh, держатель опциона будет сравнивать возможные доходы:

z-X и

Таким образом, если допустить, что американский опцион колл может исполнятся только в моменты t, t+h, t+2h, …, t+nh = T, то имеют место следующие равенства:

[59]

k = 0, 1, 2, 3, …, n-1

i = 0,1,2,3,… k

Аналогично, если американский опцион пут может исполняться только в узлах биномиальной модели, то должны выполняться следующие равенства:

[60]

k = 0, 1, 2, 3, …, n-1

i = 0,1,2,3,… k

Пример. Дан трехмесячный американский опцион пут на акцию с постоянной дивидендной доходностью 8%, цена исполнения которого равна 60 долл.

Оцените стоимость опциона, если цена исходной акции определяется трехэтапной биноминальной моделью с параметрами u = 1,14 и d = 0,88, когда текущая цена акции 60 долл., а безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется во времени и равна 10%.

Решение. В данном случае Х = 60, S = 60, T-t = 3/12, h = 1/12, r = 0,1, q=0,08.

Приведем примеры расчетов.

Рис. 27. Биноминальная модель и стоимость опциона

Таким образом, стоимость американского опциона «пут» равна 5,6 долл.

Дата добавления: 2014-01-07