Основные гипотезы и допущения

Реальный объект и расчетная схема

В механике материалов исследование любого реального объекта начинается с выбора расчетной схемы.

Расчетной схемой называется реальный объект, освобожденный от несущественных факторов, не влияющих на работу этого объекта

Переход от реального объекта к расчетной схеме предполагает:

«схематизацию геометрии (формы) элемента

«схематизацию свойств материала

«схематизацию системы приложенных сил

Схематизация геометрии (формы) элемента

Как было сказано ранее, все многообразие форм деталей машин и механизмов можно привести к четырем простейшим формам – брус или стержень, пластина, оболочка и массив. Поэтому, прежде всего, для исследуемого объекта необходимо установить, к какой простейшей геометрической форме его следует отнести. И в последующих расчетах эту форму изображать не как цельный элемент, а в виде либо геометрической оси – для элементов стержневого типа, либо в виде срединной поверхности – для пластин и оболочек.

Схематизация свойств материала

Мы будем рассматривать материал как сплошную однородную и изотропную среду, и считать этот материал идеально упругим.

Сплошностью материала называют его способность заполнять любой, даже бесконечно малый, геометрический объем без каких-либо полостей и пустот

Предпосылка сплошности позволяет не учитывать дискретную, атомическую или кристаллическую структуру вещества, наличие межатомных промежутков или дефектов в виде полостей и пустот между кристаллами. Это оправдано тем, что размеры элементов неизмеримо превышают не только размеры межатомных расстояний, но и размеры кристаллических зерен. Сплошной материал можно дробить на частицы любой малости без нарушения их физических свойств.

Однородным называют материал, который в каждой точке имеет одинаковые механические свойства Изотропным называют материал, который обладает одинаковыми механическими свойствами по всем направлениям

Как известно, материалы обладают разными свойствами. Они бывают аморфными, кристаллическими, слоистыми, волокнистыми и т.д. Реальные материалы, как правило, неоднородны из-за наличия примесей, включений и дефектов структуры. Большинство материалов являются также анизотропными, т.е. имеют различные свойства по разным направлениям. Это материалы с направленной структурой, например, дерево, бумага, пластмассы, железобетон. Даже отдельно взятый кристалл металла является анизотропным. Однако в механике материалов основная теоретическая часть строится для идеально однородных и изотропных тел. Неоднородность свойств не учитывается, а для материалов с ярко выраженной анизотропией производятся отдельные расчеты по разным направлениям. В случае необходимости учет особенностей того или иного материала делается введением в расчет специальных поправочных коэффициентов.

Схематизация материала как идеально сплошного позволит нам при исследовании напряженного состояния в точке выделять в ее окрестности бесконечно малый объем без нарушения физических свойств материала, заключенного в этом объеме. Отсутствие полостей и пустот позволит при переходе от точки к точке считать напряжения плавно изменяющимися, что дает возможность при расчетах использовать математический аппарат непрерывных функций. Схематизация материала как идеально однородного и изотропного позволит наделять любой бесконечно малый объем, выделенный в элементе, свойствами всего реального объекта.

И наконец, в схематизации материала мы будем принимать для него модель идеально упругого тела, способного полностью после снятия нагрузки освобождаться от деформаций и восстанавливать свои первоначальные размеры и форму. Реальные тела всегда проявляют отступление от идеальной упругости, но часто это отступление невелико и этим можно пренебречь. Если же с увеличением нагрузки это отступление становится весьма заметным, то для расчетной схемы применяется уже другая схематизация материала. Мы же в механике материалов будем рассматривать тела как идеально упругие, а упругие деформации, как известно, всегда нарастают пропорционально нагрузке. Поэтому о таких материалах говорят, что они подчиняются закону пропорциональности. Этот закон является основным законом в механике материалов и называется законом Гука:

,

где К – коэффициент пропорциональности, физический смысл которого будет установлен ниже.

Схематизация системы внешних сил

Установив форму элемента и схематизировав свойства материала, необходимо задать условия его работы, т.е. поставить задачу. Для этого элемент рассматривается изолированно от других деталей, а их действие заменяется силами. На расчетной схеме для элементов стержневого типа изображается только геометрическая ось, а для пластин и оболочек – их срединная поверхность. Внешние силы, действующие на элемент, переносятся к этой оси или срединной поверхности в соответствии с правилами переноса сил. При этом в расчетах элемента учитываются размеры и форма сечения, а также механические свойства материала.

На рис. 15 показан пример схематизации внешних сил для элемента стержневого типа.

Для одного и того же реального объекта может быть предложено несколько расчетных схем в зависимости от требуемой точности расчета и от того, какая сторона явления интересует исследователя. В то же время одной расчетной схеме может быть поставлено в соответствие много различных реальных объектов. Это является весьма важным обстоятельством, так как, исследуя некоторую схему, можно получить решение целого класса реальных задач, сводящихся к данной схеме.

Из-за сложности расчета элементов конструкций в механике материалов вводится ряд гипотез и допущений, позволяющих упростить решение и использовать несложный математический аппарат. Как показывают экспериментальные исследования, а также расчеты, выполненные более строгими методами теории упругости, указанные допущения не вносят большой погрешности в результаты решения и для практических целей ими можно пренебречь.

Принцип начальных размеров

Так как при упругом деформировании перемещения точек и деформации бесконечно малы, то при составлении уравнений равновесия для конструкции или ее отсеченной части она рассматривается как недеформированная, т.е. имеющая те же геометрические размеры и форму, что и до нагружения

Рассмотрим стержневую систему, представленную на рис. 16. Конструкция нагружается силой F и в результате деформации элементов ее форма изменяется. Для определения внутренних усилий в стержнях мы используем метод сечений, отсекая узел и составляя уравнения равновесия для отсеченной части. В силу того, что конструкция изменила свою форму, и угол между стержнями также изменился, составить уравнения равновесия представляется невозможным, так как деформации элементов и изменение угла нам неизвестны. Однако учитывая, что упругие деформации, которые возникают в стержнях, бесконечно малы и перемещения точек весьма незначительны, при составлении уравнений равновесия мы будем пренебрегать искажением формы конструкции и рассматривать ее как недеформированную.

Однако этим принципом нельзя пользоваться, когда перемещения велики или когда перемещения, хотя и малы, но форма конструкции качественно меняется. Например, для двух шарнирно соединенных стержней, расположенных на одной прямой (рис. 17). Системы подобного рода называют «мгновенными механизмами». Это означает, что в какой-то момент система становится кинематически изменяемой, т.е. допускает перемещения элементов, не сопровождающиеся их деформациями. Для таких систем уравнения равновесия должны составляться обязательно с учетом угла α.

Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции)

Если к системе приложено несколько сил, то результат воздействия этих сил можно определить как сумму результатов от каждой силы в отдельности и этот суммарный результат не зависит от последовательности приложения сил

Принцип независимости действия сил можно применять только, когда перемещения точек приложения сил очень малы по сравнению с размерами элемента, и только для линейно-деформируемых материалов, т.е. материалов, подчиняющихся закону Гука. В обычных конструкциях оба условия, как правило, выполняются, поэтому при их расчете этот принцип широко используется.

Принцип Сен-Венана

Если совокупность некоторых сил, приложенных к небольшой части поверхности тела, заменить статически эквивалентной системой других сил, то такая замена не окажет существенного влияния на внутренние усилия, напряжения и деформации в частях тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки

Пример, поясняющий принцип Сен-Венана, представлен на рис. 18.

Рассмотрим тело (рис.18 а), нагруженное на небольшом участке распределенной нагрузкой, изменяющейся по заданному закону. Равнодействующая этой нагрузки равна R. Если эту нагрузку на том же участке заменить равномерно распределенной (рис.18 б) с такой же равнодействующей R или заменить сосредоточенной силой F = R (рис.18 в), то все три случая нагружения будут являться статически эквивалентными.

Сущность принципа Сен-Венана заключается в следующем. Во всех рассмотренных случаях напряженные состояния детали в пределах участка будут, конечно, различными, но на некотором удалении от рассматриваемого участка (точка В, например) они окажутся практически одинаковыми. Принцип Сен-Венана не указывает конкретно расстояние, на котором внутренние усилия и напряжения уже не зависят от способа приложения внешних сил. В нем только утверждается, что эти расстояния имеют порядок размера участка, на котором приложена нагрузка (согласно экспериментальным данным это расстояние составляет порядка 3-5 размеров поперечного сечения элемента). Принцип Сен-Венана не доказан в общем случае, однако во всех полученных точных решениях он соблюдается. Несмотря на некоторую неопределенность в количественном отношении физическая сущность принципа Сен-Венана важна для расчета конструкций.

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

Сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации

Эта гипотеза играет исключительно важную роль в механике материалов и используется при выводе большинства формул для расчета стержней.

Дата добавления: 2014-01-07