Свойства функций и их композиций

1. Композиция сюръективных функций сюръективна (следует из определений).

2. Композиция инъективных функций инъективна (следует из определений).

3. Композиция биективных функций биективна (следует из свойств 1 и 2).

4. Композиция функций в общем случае не коммутативна (пример 2.1.3).

5. Композиция функций ассоциативна.

Пусть Y ₁ Í Y ₂, Z ₁ Í Z ₂, f: X ® Y ₁, g: Y ₂ ® Z ₁, h: Z ₂ ® W – произвольные функции. Рассмотрим произвольный элемент х Î Х. f (x) = y, g (y) = z, h (z) = w. Тогда

h (gf)(x) = h (gf (x)) = h (g (y)) = h (z) = w,

(hg) f (x) = hg (f (x)) = hg (y) = h (g (y)) = h (z) = w.

То есть для любого х Î Х h (gf)(x) = (hg) f (x). Значит, h (gf) = (hg) f.

6. Относительно операции композиции функций, являющихся преобразованиями одного множества Х, имеется нейтральный элемент – е_X.

Пусть f: Х ® X – произвольная функция. Тогда e_Xf (x) = e_X (f (x)) = f (x), fe_X (x) = f (e_X (x)) = f (x) для любого х Î Х. Итак, е_Хf = fe_X = f для любой функции f: Х ® X.

7. Обратная к биекции функция сама является биекцией.

Пусть f: Х ® Y – биекция. Тогда по теореме 2.1.1 для f существует обратная функция f ^–1: Y ® X. Поскольку для функции f ^–1 обратная функция существует (ею является f), то снова же по теореме 2.1.1 f ^–1 – биекция.

Приведем теорему о связи свойств инъективности и сюръективности функции, являющейся преобразованием конечного множества, что уже можно было заметить в частном случае, в пунктах 3 и 4 примера 2.1.4.

Теорема 2.1.2. Пусть А – конечное множество и функция f: А ® А. f – сюръекция тогда и только тогда, когда f – инъекция.

Необходимость. Пусть А = { a ₁,…, a_n }, n Î N, и f: А ® А – сюръекция. Тогда E (f) = { f (a ₁),…, f (a_n)} = { a ₁,…, a_n }, то есть E (f) = A. Если бы f не была инъекцией, то в А нашлось бы, по крайней мере, два элемента a_i ¹ a_j таких, что f (a_i) = f (a_j). Но тогда бы мы пришли к противоречию, получив, что E (f) Ì А, то есть E (f) ¹ А.

Достаточность. Пусть А = { a ₁,…, a_n }, n Î N, и f: А ® А – инъекция. Тогда для различных a_i и a_j f (a_i) и f (a_j) различны. E (f) Í A, и количества элементов в E (f) и A совпадают и равны n. Поэтому E (f) = A. Значит, f – сюръекция.

Дата добавления: 2014-01-07