Свойства функций, непрерывных на отрезке. Определение 1.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если

Определение 1. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x ₀, если .

Можно доказать, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения. Напомним, что функция называется элементарной, если она может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, умножения, деления и композиции функций. К основным элементарным функциям обычно относят степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Определение 2. Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

3. Производная и её геометрический смысл

Очень многие задачи естествознания (математики, физики, химии, биологии и других наук) приводят к необходимости вычисления для заданной функции пределов специального вида, которые характеризуют скорость изменения значений функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке x ₀ и обозначается D x. Итак, . Следовательно, .

Приращением функции f в точке x _0, соответствующим приращению D x, называется разность и обозначается или просто D f. При фиксированном значении x ₀ приращение функции D f есть функция от D x.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Производной функции f в точке x ₀ называется предел , если он существует и конечен.

Обозначения: , , , .

Заметим, что производная функции в точке – это число.

Выясним геометрический смысл производной функции f в точке x ₀. Прямая ММ₀, проходящая через точки М₀(x ₀; f (x ₀)), М(x; f (x)) при , называется секущей графика. Положение секущей определяется точкой М₀ и угловым коэффициентом секущей . Если , то точка М, перемещаясь по графику, приближается к точке М₀. Возможно получится так, что секущая будет приближаться к некоторому определенному положению М₀N.

Определение 2. Если существует предельное положение секущей ММ₀ при , т.е. существует , то прямая, проходящая через точку М₀ и имеющая угловой коэффициент k₀, называется касательной к графику функции f в точке М₀(x ₀; f (x ₀)).

Если существует , то существует , а это и означает, по определению, что существует касательная к графику функции f в точке М₀ и ее угловой коэффициент .

Итак, геометрический смысл производной функции f в точке x ₀ заключается в том, что значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f, проведенной в точке М₀(x ₀; f (x ₀)). Зная координаты точки М₀ и угловой коэффициент, получаем уравнение этой касательной: .

Дата добавления: 2014-01-07