Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения

Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение

Определение 1. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

Если для некоторого выполняется условие , то функция является решением уравнения.

Если , то получаем равносильное уравнение . Это уравнение, в случае непрерывности функций и при рассматриваемых значениях x и y, равносильно уравнению .

Действительно, обозначим через некоторую первообразную функции , через - некоторую первообразную функции . Тогда , . Следовательно,

.

Но дифференциалы двух функций (переменной x) равны тогда и только тогда, когда сами функции различаются на постоянное слагаемое:

.

Определение 1. Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть представлено в виде

,

где f – некоторая функция одной переменной.

Метод решения однородного дифференциального уравнения: вводим новую переменную . Следовательно, . Получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно переменной z:

.

Определение 2. Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое линейно относительно функции y и ее производной , т.е. уравнение вида

Определение 3. Если , то уравнение вида называется однородным линейным уравнением первого порядка.

Однородное линейное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными: . Функция y =0 является решением этого уравнения.

Если же , то получаем , тогда . Если - некоторая первообразная функции , то

.

Итак, общее решение однородного линейного уравнения имеет вид

.

В общем случае, т.е. если , уравнение называется неоднородным линейным уравнением первого порядка.

Имеется несколько способов решения неоднородных линейных уравнений. Рассмотрим метод вариации постоянной. Общее решение ищем в виде

,

где - неизвестная функция.

Подставляя в уравнение y и , имеем

,

следовательно,

,

.

Подставляя найденное значение , получаем общее решение

,

которое является суммой общего решения соответствующего однородного линейного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.

Дата добавления: 2014-01-07