Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Зависимые и независимые события. Произведение событий.

Определение 1. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Произведение событий А и В обозначается через А × В (или просто АВ).

Напомним, что вероятность P (В) некоторого события В вычисляется при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В, вообще говоря, может измениться. Так если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность P (В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается P_А (В) или P (В/A).

Теорема 1 (теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

P (AB) = P (A)× P_А (В) = P (B)× P_B (A).

Доказательство. Найдем сначала формулу вычисления условной вероятности P_А (В):

n – общее число равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев);

m – число случаев, благоприятствующих событию А;

k – число случаев, благоприятствующих событию В;

l – число случаев, благоприятствующих событию AB. Ясно, что l £ m, l £ k.

После того, как событие А произошло, число всех равновозможных и несовместимых исходов испытания (случаев) сократилось с n до m, а число случаев, благоприятствующих событию B сократилось с k до l.

Согласно классическому определению вероятности: P (AB)= l / n, P (A)= m / n.

Следовательно, P_А (В)= l / m =(l / n)/(m / n)= P (AB)/ P (A).

Аналогично, P_B (A)= P (AB)/ P (B).

Выражая из последних двух равенств P (AB), получаем доказываемую формулу.

Замечание 1. Теорему умножения вероятностей можно обобщить на случай произведения произвольного числа событий: вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли:

Замечание 2. Теорема умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы: вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не меняет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы любые два из них и независимы любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события называются зависимыми.

Дата добавления: 2014-01-07