Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства

Математические операции над дискретными случайными величинами

ЛЕКЦИЯ 4

Тема 4: Дискретные случайные величины

ПЛАН

1. Математические операции над дискретными случайными величинами.

2. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства.

3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m / n наступлений события в п повторных независимых испытаниях.

4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона.

Пусть даны две случайные величины:

	X:	xi	x 1	x 2	¼	xn
pi	p 1	p 2	¼	pn

и

	Y:	yi	y 1	y 2	¼	ym
pi	p 1	p 2	¼	pm

Произведением случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина kX, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i =1, 2, …, n).

m - ой степенью случайной величины Х называется случайная величина X^m, которая принимает значения x_i^m с теми же вероятностями p_i (i =1, 2, …, n).

Суммой случайных величин Х и Y называется случайная величина Х + Y, которая принимает все возможные значения вида x_i + y_j (где i =1, 2, …, n и j =1, 2, …, m) с вероятностями p_ij того, что случайная величина X примет значение p_i, а случайная величина Y примет значение p_j, т.е. p_ij = P [(X = x_i) × (Y = y_j)].

Произведением случайных величин Х и Y называется случайная величина Х × Y, которая принимает все возможные значения вида x_i × y_j (где i =1, 2, …, n и j =1, 2, …, m) с вероятностями p_ij того, что случайная величина X примет значение p_i, а случайная величина Y примет значение p_j, т.е. p_ij = P [(X = x_i)×(Y = y_j)].

Если случайные величины Х и Y независимы, т.е. независимы любые события X = x_i и Y = y_j, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий

p_ij = P (X = x_i)× P (Y = y_j)= p_i × p_j.

Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию, и их свойства.

Определение 1. Математическим ожиданием, или средним значением, М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие их вероятности:

.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M (C)= C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M (kX)= k × M (X).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M (X + Y) = M (X)+ M (Y).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (X × Y) = M (X)× M (Y).

5. Если все значения случайной величины увеличить на постоянную С, то математическое ожидание этой величины увеличиться на С:

M (X + С) = M (X)+ С.

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

M (X - M (X)) = 0.

Доказательство. 2. Случайная величина kX принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i =1, 2, …, n), что и величина Х. Следовательно

.

Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Оно не характеризует степень отклонения принимаемых значений от среднего значения.

Определение 1. Дисперсией D (X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D (X)= M [ X - M (X)]².

В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание M (X - M (X)) отклонения случайной величины от ее математического ожидания, ибо эта величина всегда равна нулю. С другой стороны, можно было бы рассмотреть величину D (X)= M [½ X - M (X)½]. Но эта характеристика менее удобна для вычисления, чем дисперсия.

Если случайная величина Х является дискретной с конечным числом значений, то

.

Если случайная величина Х является дискретной с бесконечным числом значений, то

,

если числовой ряд сходится.

Дисперсия D (X) имеет размерность квадрата случайной величины Х, поэтому в качестве характеристики рассеяния часто используют величину .

Определение 1. Средним квадратическим отклонением s _x случайной величины Х называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:

.

Свойства дисперсии случайной величины:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D (C)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

D (kX)= k ²× D (X).

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

D (X)= M (X ²) -[ M (X)]².

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X + Y) = D (X)+ D (Y).

Доказательство. 2. Используя свойство 2 математического ожидания случайной величины X, получаем:

D (k × X) = M [ k × X - M (k × X)]² = M [ k × X - k × M (X)]² = k ²× M [ X - M (X)]² = k ²× D (X).

Замечание. Числовые характеристики случайной величины Х, являясь неслучайными, постоянными, играют существенную роль в теории вероятностей. Нередко удается решить вероятностные задачи, пользуясь только числовыми характеристиками случайной величины Х, не рассматривая закон ее распределения.

3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m / n наступлений события в п повторных независимых испытаниях

Математическое ожидание и дисперсия числа т и частости появлений события при n повторных независимых испытаниях могут быть также вычислены и по формулам:

.	(16)
.	(17)

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M (X)= n × p, а ее дисперсия равна D (X)= n × p × q.

Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х = Х ₁+ Х ₂+…+ Х_k +…+ Х_n, где случайная величина Х_k выражает число наступлений события А в k -ом испытании (k = 1, 2, …, n) и имеет закон распределения

	X k:	xi
pi	q	p

Вычислим математическое ожидание M (X_k) = x ₁× p ₁ + x ₂× p ₂ = 0× q +1× p = p и дисперсию

D (X_k) = (x ₁- p)²× p ₁ + (x ₂- p)²× p ₂ = (0- p)²× q + (1- p)²× p = p ²× q + q ²× p = p × q × (p+q) = p × q.

Следовательно, M (X)= M (X ₁)+ M (X ₂)+…+ M (X_n) = p + p +…+ p = n × p,

D (X)= D (X ₁)+ D (X ₂)+…+ D (X_n) = p × q + p × q +…+ p × q = n × p × q. Теорема доказана.

Следствие. Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, равно p, то есть , а ее дисперсия рана .

Дата добавления: 2014-01-07