Плотность вероятности НСВ, ее определение и свойства

Непрерывная случайная величина (НСВ).

Понятие непрерывной случайной величины является непосредственным обобщением понятия дискретной случайной величины. Оно приводит к новому понятию плотности вероятности и к новым определениям математического ожидания и дисперсии.

Хотя тема в основном имеет теоретический характер и не используется в задачах, предлагаемых в контрольных работах, без ее изучения нельзя освоить последующие темы.

Определение 1. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».

Теорема 1. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равно нулю.

Доказательство.

.

Следствие. Для непрерывной случайной величины Х справедливы равенства:

P (x ₁ < X £ x ₂) = P (x ₁ < X < x ₂) = P (x ₁ £ X < x ₂) = P (x ₁ £ X £ x ₂).

Пусть Х – НСВ. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность P (х £ Х £ х + D х) попадания НСВ на промежуток [ х; х + D х ].

Средняя плотность вероятности на этом промежутке равна .

Очевидно, что если D х ® 0, то P (х £ Х £ х + D х) ® 0.

Определение 1. Плотностью вероятности НСВ в точке х называется предел , если такой предел существует.

Теорема 1. Плотность вероятности j (x) непрерывной случайной величины Х равна производной ее функции распределения, т.е.

j (x) = F¢ (x).

Дата добавления: 2014-01-07