Свойства делимости многочленов

1. Для " g (x) ¹ 0 g (x) | 0.

0 = g (x) × 0.

2. Для " a Î P ^* и " f (x) Î P [ x ] a | f (x).

f (x) = a × (a ^–1 × f (x)).

3. Если g (x) | f (x) и f (x) | h (x), то g (x) | h (x) – свойство транзитивности.

h (x) = f (x) q (x) = g (x) u (x) q (x) для соответствующих q (x), u (x) Î P [ x ].

4. g (x) | f (x) & f (x) | g (x) Û f (x) = ag (x) для некоторого a Î P ^*.

f (x) = g (x) q (x) & g (x) = f (x) u (x) Û f (x) = f (x) u (x) q (x) Û q (x) u (x) = 1 Û q (x), u (x) Î P ^* Û q (x) = a, u (x) = a ^–1, где a Î P ^*.

5. Если g (x) | , , то g (x) | для " k Î N, " u_i (x) Î P [ x ].

= = g (x) = u (x) g (x), причем u (x) Î P [ x ].

6. Если в равенстве все многочлены кроме, быть может, одного делятся на d (x), то и этот многочлен также делится на d (x).

Не ограничивая общности, можем считать, что этим многочленом является . Поскольку , а также , то справедливо равенство:

,

где , следовательно, d (x) | .

7. f (x) | g (x) Û af (x) | bg (x) для " a, b Î P ^*.

g (x) = q (x) f (x) для соответствующего q (x) Î P [ x ]. Тогда для " a, b Î P ^* последнее равенство равносильно bg (x) = ba ^–1 q (x) af (x) Û af (x) | bg (x).

Дата добавления: 2014-01-07