Законы распределения времени между отказами

Время между отказами является непрерывной случайной величиной. Эта случайная величина с вероятностной точки зрения будет полностью определена, если известна ее функция распределения. В теории надежности наиболее целесообразно характеризовать время между соседними отказами производной от функции распределения, т.е. дифференциальным законом распределения. Это объясняется тем, что одна из количественных характеристик надежности, а именно частота отказов, является дифференциальным законом распределения времени между отказами. Эта функция часто называется «плотностью распределения», «плотностью вероятности».

Случайные величины в зависимости от их смысла могут иметь различные законы распределения. На практике время между отказами сложных систем и простейших элементов подчиняется таким законам распределения, как экспоненциальное (показательное), Рэлея, нормальное, гамма-распределение, Вейбулла.

При экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов интенсивность отказов является величиной постоянной

λ(t) = λ = const. (3.26)

Тогда зависимости между основными количественными характеристиками выражаются формулами:

(3.27)

Условие λ(t) = const означает, что средняя частота отказов и среднее время между соседними отказами соответственно равны интенсивности отказов и среднему времени безотказной работы, т.е.

(3.28)

Эти условия очевидны, поскольку для простейшего потока его интенсивность и параметр совпадают.

При проведении эксперимента с целью получения λ(t)из общего числа N ₀элементов выбывают отказавшие элементы, т.е. число элементов, участвующих в испытаниях, с течением времени уменьшается. Если отсутствует старение системы, то пропорционально уменьшению числа элементов N ₀ уменьшается также число отказавших элементов n. Пропорциональное уменьшение числителя и знаменателя выражения (3.11) означает, что интенсивность отказов не зависит от времени эксплуатации, т.е. λ = const.

При распределении времени возникновения отказов по закону Рэлея частота отказов определяется выражением:

, (3.29)

где σ – параметр распределения Рэлея.

Вероятность безотказной работы, опасность отказов и среднее время безотказной работы выражаются следующими формулами:

(3.30)

Из выражения (3.30) видно, что в области малых t, где интенсивность отказов незначительна, вероятность безотказной работы системы уменьшается с течением времени медленнее, чем при экспоненциальном законе. Это означает, что сложные системы, предназначенные для малого времени непрерывной работы, целесообразно строить на элементах, имеющих рэлеевский закон распределения времени между отказами. Условие целесообразности применения таких элементов по сравнению с элементами, поток отказов которых подчиняется экспоненциальному распределению, аналитически можно записать в виде следующего неравенства:

. (3.31)

Это условие вытекает из сравнения выражений для вероятности безотказной работы при указанных законах распределения времени возникновения отказов.

Особо высокой надежностью могут обладать резервированные системы кратковременного действия с рэлеевским законом распределения отказов элементов. Это вытекает из основного противоречия всякого резервирования, которое состоит в том, что выигрыш надежности резервированной системы тем больше, чем более надежна основная система.

Дата добавления: 2014-01-07