Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегральный признак

Теорема 14.1.11. Пусть дан ряд с положительными членами a1+a2+…+an+…, которые не возрастают, т.е. a1³a2³a3³…³an (возможно с некоторого номера N) и пусть при x ³1 существует непрерывная, положительная невозрастающая функция f(x), такая, что f(n) = an, т.е. f( 1 ) = a1, f( 2 ) = a2,…, f( k ) = ak,… Тогда ряд сходится (или расходится) одновременнос несобственным интегралом .

Доказательство. Пусть выполняется условие f(n) = an для функции f(x). Построим график этой функции для x³1 и рассмотрим площадь вписанной ступенчатой фигуры для 1£ x £ n.

Sвпис.ступ.фиг. = a1+a2+…+an

Если частичная сумма ряда равна Sn, то Sвпис.ступ.фиг. = Sna 1. Площадь криволинейной трапеции под кривой f(x) для 1£ x £ n . Очевидно, . Тогда .

Пусть несобственный интеграл сходится к числу А. Тогда Sn<A+a1, т.е. последовательность частичных сумм ограничена. С другой стороны эта последовательность монотонно возрастает, т.к. в силу положительности членов ряда (аn>0) Sn < Sn+1 = Sn + an+1. Из ограниченности и монотонности частичных сумм Sn следует, что существует (см. признаки существования пределов). Ряд сходится.

Пусть несобственный интеграл , т.е. интеграл расходится. Сравним площади описанной ступенчатой фигуры для 1£ x £ n и рассмотренной выше криволинейной трапеции

Sоп.ст.фиг.=a1+a2+…+ an-1=Sn-an.

Очевидно, Sn-an³ , или Sn . Перейдем к пределу при n→¥:

, , следовательно (по определению), ряд расходится.

В качестве примера рассмотрим обобщенный гармонический ряд , где α – любое действительное число.

Решение. Как известно, функция при x ≥ 1 положительная и невозрастающая. Как было показано выше () несобственный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Следовательно, и обобщенный гармонический ряд сходится, если α > 1 и расходится, если α≤1. В связи с достаточной простотой ответа о сходимости обобщенного гармонического ряда, его удобно использовать, как было сказано выше (п. 14.2), в качестве эталонного ряда.

Следует отметить, что трудности использования интегрального признака могут возникнуть при вычислении несобственных интегралов .

Замечание. В соответствии со свойствами интегралов , но . Следовательно, при использовании интегрального признака можно вычислять несобственный интеграл .

Примеры. Исследовать сходимость рядов.

1. . Рассмотрим . Введем новую переменную t=2n+1. Если n =1, t =3; если n =¥, t =¥. После замены получаем , который сходится при t ≥ 1, а значит, и при t ≤ 3, т.к. p = 2 > 1. Ряд сходится.

2. . Сравним этот ряд с рядом .

для n ≥ 3.

Эталонный обобщенный гармонический ряд расходится, т.к. . В таком случае и ряд расходится, т.к. получен путем отбрасывания первых двух членов из эталонного ряда. В таком случае на основании признака сравнения расходится ряд , а значит, и данный ряд расходится (теорема 14.1.3).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Признак Коши | Доказательство. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 359; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.