Стоячие волны в разомкнутой линии

Рассмотрим случай, когда линия разомкнута на конце (сопротивление нагрузки бесконечно велико). В конце такой линии ток равен нулю и нет никакого расхода энер­гии. Поэтому энергия бегущей волны не может быть поглощена в конце линии, но также не может продолжать удаляться от генера­тора, так как линия обрывается. Бегущая волна, дойдя до конца разомкнутой линии, отражается и движется обратно к генера­тору. В линии распространяются две бегущие волны: одна – па­дающая – движется от генератора к концу линии, а другая – отраженная – движется в обратном направлении. Если не учи­тывать потери в самой линии, то можно считать, что энергия от­раженной волны равна энергии падающей волны.

Физически процесс отражения можно объяснить следующим образом. Когда падающая волна доходит до конца линии, там начинают накапливаться заряды, а следовательно, возникает дополнительная разность потенциалов. Она действует подобно напряжению некоторого генератора и возбуждает в линии но­вую бегущую волну, движущуюся от конца линии к ее началу.

В результате сложения двух волн, имеющих одинаковые ам­плитуды и движущихся навстречу друг другу, возникают стоя­чие волны, резко отличающиеся от бегущих волн.

Для примера на рис. 45 взят момент, когда амплитудное значение падающей волны на­ходится на расстоянии l/8 от конца линии. Штриховой кривой изображено продолжение падающей волны, которое существо­вало бы, если бы линия не обрывалась. Отраженная волна представляет собой продолжение падающей волны, но только движется она от конца линии к генератору.

Суммарное напря­жение, полученное от сложения падающей и отраженной волн, показано жирной линией. Оно имеет наибольшее значение в точ­ках П₁ и П₂ (на конце линии и на расстоянии l/2 от конца). А в точках У₁ и У₂, находящихся на расстояниях l/4 и 0,75 l от конца линии, напряжение равно нулю.

Рис. 45. Сложение падаю­щей и отраженной волн

В любой другой момент времени падающая и отраженная волны складываются так, что в точках П₁ и П₂ опять будет наибольшее напряжение, а в точках У₁ и У₂ – нулевое.

Точки У₁ и У₂, в которых напряжение всегда равно нулю, на­зывают узлами напряжения, а точки наибольшего напряжения П₁ и П₂ – пучностями. Узлы и пучности остаются в одних и тех же местах линии, и вся суммарная волна «стоит на месте». По­этому ее назвали стоячей волной.

С течением времени характер распределения напряжения вдоль линии при стоячей волне не изменяется. В разные мо­менты времени изменяется только величина напряжения в каж­дой точке линии.

На рис. 46 показано распределение напряжения вдоль ра­зомкнутой линии для нескольких различных моментов времени на протяжении одного полупериода.

Кривая 1 соответствует той фазе, при которой напряжение в линии наибольшее. В следую­щие моменты времени напряжение уменьшается (кривые 2 и 3). Через четверть периода (прямая 4) напряжение везде равно нулю. Затем оно меняет свой знак и возрастает (кривые 5 и 6). Через полпериода после начала процесса напряжение достигает амплитудного значения (кривая 7), но только с обратным знаком.

Рис. 46. Распределение напряже­ния вдоль линии

при стоячей волне для разных моментов времени

Напряжение в каждой точке линии (во времени) колеблется по синусои­дальному закону, причем амплитуда для разных точек различна. Для пучностей амплитуда наибольшая, равная двойной ампли­туде бегущей волны; для других точек она меньше, а для узлов она равна нулю.

Подобно напряжению изменяется и ток в линии. Но отра­женная волна тока движется от конца линии с противополож­ной фазой. Действительно, электроны, дойдя до конца линии, дальше не могут перемещаться и движутся обратно, т. е. ток изменяет свой знак. В результате на конце линии суммарный ток равен нулю и получается узел тока.

Таким образом, в стоя­чей волне узлы тока получаются там, где имеются пучности на­пряжения, а пучности тока находятся в узлах напряжения.

Иначе говоря, стоячая волна тока сдвинута на расстояние l/4 относительно стоячей волны напряжения. Графически это изо­бражено двумя кривыми на рис. 47 (здесь и далее кривая тока дана сплошной линией, а кривая напряжения – штрихом).

Амплитуда напряжения в пучности U _пуч, равная двойной амплитуде напряжения бегущей волны 2 U_m, пропорциональна амплитуде тока в пучности I _пуч , которая равна двойному значению амплитуды тока бегущей волны 2 I_m.

Рис. 47. Стоячие волны тока

и напряжения линии

В отличие от бегущей волны, мощность стоячей волны ре­активная, так как энергия нигде не расходуется (линия идеальная). Поэтому ток и напряжение сдвинуты по фазе на четверть периода (на 90°). Если в какой-то момент вре­мени напряжение имеет амплитудную фазу, то в этот момент ток во всех точках линии равен нулю. Через четверть периода напряжение по всей линии уменьшится до нуля, а ток дойдет до амплитудного значения.

Сдвиг фаз на 90° между током и напряжением при стоячей волне показывает, что в линии происходят колебания энергии, весьма сходные с процессами в замкнутом колебательном кон­туре.

Когда напряжение в линии наибольшее, а ток равен нулю, то вся энергия сосредоточена в электрическом поле. Через чет­верть периода напряжение равно нулю, а ток имеет наибольшее значение, т. е. вся энергия сосредоточена в магнитном поле. Еще через четверть периода энергия снова возвращается в электри­ческое поле, а затем все повторяется.

Выясним теперь процессы в разомкнутой линии при различ­ном соотношении между ее длиной и длиной волны питающего генератора.

Примем, что внутреннее сопротивление генератора значительно меньше волнового сопротивления линии. На рис. 48 показано распределение тока и напряжения для характерных случаев работы линии и приведены для них эквивалентные схемы.

Как известно, на конце разомкнутой линии всегда получаются пучность напряжения и узел тока. На входе линии ток и напряжение могут иметь различные значения в зависимости от длины линии.

Входное сопротивление также изменяется в широ­ких пределах, так как оно всегда равно отношению напряжения к току в начале линии. При этом во всех случаях, когда вход­ное сопротивление линии значительно больше внутреннего со­противления генератора, можно считать, что напряжение на за­жимах генератора равно его ЭДС.

Когда длина линии L меньше l/4 (рис. 48а), то в начале ли­нии ток и напряжение имеют некоторые значения и сдвинуты по фазе на 90°. Следовательно, в этом случае входное сопротивле­ние реактивное. Покажем, что оно имеет емкостный харак­тер. Действительно, два коротких провода, подключенных к ге­нератору, представляют собой конденсатор. Чем короче линия, тем меньше емкость этого конденсатора, тем больше емко­стное входное сопротивление. Генератор в этом случае нагружен некоторой емкостью, что и показано на эквивалентной схеме. Вследствие большой величины входного сопротивления ток в ли­нии получается малым. Напряжение на конце линии незначи­тельно превышает напряжение генератора.

Если приближать длину линии к l/4, то напряжение в начале линии становится меньше по сравнению с его значением в пуч­ности, а ток увеличивается и входное сопротивление уменьша­ется. Когда L = l/4 (рис. 48б), в начале линии будут узел на­пряжения и пучность тока. Тогда Z _вх = U / I =
= 0, и для генератора получается режим короткого замыкания.

В этом случае напряжение в линии достигает наибольшего значения, т.е. наблюдается явление резонанса напряжений. Та­ким образом, четвертьволновая разомкнутая линия эквива­лентна последовательному резонансному контуру. Как известно, такой контур имеет при резонансе наименьшее и чисто активное сопротивление, поэтому ток и напряжение в нем достигают наи­больших значений. Идеальный контур имеет при резонансе со­противление, равное нулю, подобно входному сопротивлению идеальной линии.

При изменении длины линии в ту или другую сторону от l/4 ее входное сопротивление увеличивается и стано­вится емкостным, или индуктивным. Именно так меняется при частотной расстройке и сопротивление последовательного контура.

В реальной линии существуют потери энергии и Z _вх при ре­зонансе не равно нулю. Обращается в нуль только реактивное входное сопротивление, a Z _вх становится наименьшим и чисто активным, так как оно обусловлено наличием активных потерь.

Пусть теперь длина линии больше l/4, но меньше l/2. Тогда напряжение в начале линии уже не равно нулю. Входное сопро­тивление возрастет и примет индуктивный характер (рис. 48в). При этом ток и напряжение получатся значительно меньше, чем в случае четвертьволновой линии, подобно тому, как уменьша­ются ток и напряжение при расстройке контура.

По мере приближения L к l/2 входное сопротивление увели­чивается. Когда L = l/2 (рис. 48г), напряжение в начале линии наибольшее, равное ЭДС генератора, а ток равен нулю. Следо­вательно, входное сопротивление бесконечно велико. В действи­тельности вследствие потерь в линии входное сопротивление не равно бесконечности, а принимает некоторое наибольшее значе­ние и является чисто активным. Получается резонанс, подобный резонансу токов в параллельном контуре.

В данном случае полуволновая линия эквивалентна парал­лельному резонансному контуру потому, что ее входное сопро­тивление при изменении длины в ту или другую сторону от l/2 уменьшается и приобретает емкостный или индуктивный харак­тер. Такое же изменение сопротивления при расстройстве свой­ственно и параллельному контуру.

Таким образом, разомкнутая линия эквивалентна: некоторой емкости при L < l/4, последовательному резонансному контуру при L = l/4, некоторой индуктивности при l/4 < L < l/2, парал­лельному резонансному контуру при L = l/2.

Все рассмотренные случаи можно получить и при постоян­ной длине линии, изменяя длину волны генератора l. Тогда по­следовательный резонанс получится в случаях, когда вдоль ли­нии укладывается нечетное число четвертей волны. Иначе говоря, кроме резонанса на основной волне, соответствующей l/4, будет наблюдаться резонанс на любой нечетной гармонике. Параллельный же резонанс в линии полу­чается не только на основной волне, но и на любых как четных, так и нечетных гармониках, когда вдоль линии ук­ладывается целое число полуволн.

l/4

l/4

Рис. 48. Стоячие волны в разомкнутой линии

Таким образом, линия как колебательная система способна резонировать на многих ча­стотах. Этим она отличается от простого колебательного кон­тура, имеющего только одну резонансную частоту.

Следует подчеркнуть, что свойство резонировать не только на основной собственной частоте, но и на гармониках характерно для всех колебательных систем с распределенными параметрами. Например, в струне, имеющей массу и упругость, распределенным по всей ее длине, легко возбудить колебания на гармониках, но это невозможно сделать с маятником.

Следует обратить внимание на то, что при длине линии, рав­ной l/2 или целому числу полуволн, входное сопротивление по­лучается таким же, как и сопротивление на конце линии (в дан­ном случае бесконечно большое). А при длине линии, равной l/4 или нечетному числу четвертей волны, входное сопротивле­ние равно нулю, т.е. имеет величину, обратную сопротивлению на конце линии (0 = 1 / ¥). Такое же влияние длины линии на ве­личину входного сопротивления наблюдается и при любых дру­гих значениях нагрузочного сопротивления R, включенного в конце линии.

Следовательно, линия длиной в целое число полуволн не из­меняет величину сопротивления нагрузки, и у нее всегда Z _вх = R, а линия длиной, равной нечетному числу четвертей волны, преобразовывает большое нагрузочное сопротивление в малое, и наоборот.

Дата добавления: 2014-01-07