Кривые линии

Лекции № 9

Тема лекции: Кривые линии. Поверхности. Классификация поверхностей. Определение поверхности. (раздел 4)

1. Кривые линии: плоские, пространственные, закономерные, незакономерные.

2. Поверхности: определение поверхности, задание поверхности на чертеже, определитель поверхности.

3. Классификация поверхностей: поверхности вращения; линейчатые поверхности; винтовые поверхности; циклические поверхности.

4. Позиционные задачи: определение точек и линий на поверхностях.

Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траекторию движения точки.

Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.

Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Цилиндрическую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь, проходимый точкой по образующей, пропорционален углу поворота цилиндра (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Коническую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося вокруг своей оси так, что путь, пройденный точкой по образующей все время равен углу поворота конуса (рис.9.2). Горизонтальной проекцией конической винтовой линии является спираль Архимеда.

Рис. 9.2

Классификация поверхностей

Поверхность, одно из основных геометрических понятий. Поверхности составляют широкое многообразие нелинейных фигур трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей.

Кривая поверхность – это совокупность всех положений некоторой линии, движущейся в пространстве. Движущаяся линия называется образующей поверхности, а линии, определяющие закон ее перемещения, направляющими. Образующая может быть и прямой линией и кривой, плоской и пространственной.

Поверхность, образуемая движением прямой линии, называется линейчатой, а движением криволинейной образующей – нелинейчатой поверхностью.

Линейчатая поверхность (рис. 9.3), образованная движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку V и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую m, называется конической.

Рис. 9.3	Рис. 9.4

Линейчатая поверхность (рис. 9.4), образованная движением образующей l по направляющей m, называется цилиндрической.

Если же группировать поверхности по закону движения образующей линии и производящей поверхности, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

• поверхности вращения – это поверхности, созданные при вращении образующей l вокруг оси i;

• винтовые поверхности – поверхности, образованные винтовым движением образующей. Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси;

• поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) – поверхности, представляющие собой множество прямых линий l – образующих, параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n;

• поверхности переноса – поверхности, образованные поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии m по криволинейной направляющей n.

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено никакому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают ее форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности.

Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу

Из нелинейчатых поверхностей рассмотрим поверхности, образованные вращением образующей вокруг прямой. Такие поверхности называются поверхностями вращения.

На рис. 9.5 поверхность образована вращением кривой линии l вокруг оси i, лежащей в плоскости этой кривой.

Рис. 9.5	Рис..9.6

Каждая точка М кривой описывает окружность m, называемую параллелью. Параллель наибольшего диаметра называется экватором, наименьшего – горлом. Кривую линию, получающуюся от пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называют меридианом. На рис. 9.5 меридианом будет образующая кривая l.

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Это так называемые циклические поверхности (рис. 9.6).

Позиционные задачи. Определение точек и линий на поверхности

На чертеже изображаются линии и точки, определяющие данную поверхность и линии очерка проекции. Очерковые линии являются на чертеже границами поверхности и разделяют поверхность на видимую и невидимую части.

Цилиндрическая поверхность задана на рис. 9.7 направляющей линией m и образующей l. На фронтальной проекции показаны очерковые образующие l ₁ и l ₂, а на горизонтальной – l ₃ и l ₄.

Точка принадлежит поверхности в том случае, когда она находится на линии этой поверхности.

Точка, принадлежащая поверхности цилиндра, определяется с помощью проходящей через нее образующей. На рис. 9.7 точка А лежит на образующей l. Образующая l проходит через точку В, которая находится на видимой спереди части линии m, поэтому на фронтальной проекции она видна. Следовательно, там же видна и точка А ². На горизонтальной проекции точка В не видна, значит невидимы образующая l и лежащая на ней точка А ¢.

	Рис. 9.7
Рис. 9.8

На рис. 9.8 коническая поверхность определена вершиной V и направляющей m. Очерковые образующие на фронтальной проекции - l ₁ и l ₂. Точка А, принадлежащая поверхности, задана с помощью образующей l этой поверхности. Точка А на этой поверхности определяется также и с помощью параллели n.

Фронтальная проекция точки А–А¢¢ является проекцией двух точек на горизонтальной проекции – А ¢1, лежащей на видимой половине конуса и А ¢2, лежащей на невидимой ее половине.

На рис. 9.9 задана поверхность сферы. Линией очерка ее фронтальной проекции служит главный меридиан l, и линией очерка горизонтальной проекции – экватор m. Точка А на поверхности сферы определяется с помощью параллели m ₁, причем фронтальной проекции А " на горизонтальной проекции соответствуют точка на видимой спереди половине сферы и на невидимой части. Показанная на чертеже точка В лежит на экваторе сферы, а точка 1 – на главном меридиане l.

Рис. 9.9
Рис. 9.10

На рис. 9.10 задана поверхность тора. Она образована вращением образующей окружности l вокруг вертикальной оси i, лежащей в плоскости этой окружности s. Если ось вращения не пересекает образующей окружности, поверхность называют открытым тором (круговым кольцом).

Центр образующей окружности l тора перемещается по окружности, называемой центровой окружностью тора (направляющая кривая). Очерком фронтальной проекции служат главный меридиан, состоящий из двух образующих окружностей, и две параллели – m 3 и m 4. Очерком горизонтальной проекции служат экватор m 1 и горло m 2 – наибольшая и наименьшая параллели.

Точка на поверхности тора определяется с помощью проходящей через нее параллели. На рис. 9.10 фронтальной проекции А" точки А на горизонтальной проекции может соответствовать любая из четырех точек - , , лежащих на параллели m5, и или , лежащих на параллели m₆. Точки 1 и 2 лежат на главном меридиане тора, точка В – на экваторе.

Если ось касается образующей окружности (рис. 9.11, а), поверхность называют закрытым тором, а в случае, когда ось пересекает окружность – пересекающимся тором (рис. 9.11, б). Пересекающийся тор может быть разделен на две самостоятельные части – внешнюю и внутреннюю.

Рис. 9.11, а	Рис. 9.11, б

Кроме рассмотренных, приведем примеры других поверхностей вращения:

- при вращении эллипса вокруг одной из его осей – большой или малой образуется поверхность – эллипсоид вращения, вытянутый или сжатый;

- при вращении параболы вокруг ее оси образуется поверхность – параболоид вращения;

- при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси образуется поверхность – двухполостный гиперболоид вращения, а при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси – однополостный гиперболоид вращения.

Контрольные вопросы по теме лекции:

1. Как на чертеже задается плоская, пространственная кривая?

2. Как задается поверхность на чертеже?

3. Что называется определителем поверхности?

4. Какие поверхности называются линейчатыми, нелинейчатыми?

5. Что называется очерком поверхности?

6. Что называется поверхностью вращения? Приведите примеры.

7. Что называется параллелью, экватором, меридианом, главным меридианом?

8. Какие способы применяются для построения точек на поверхности?

Дата добавления: 2014-01-07