Численные методы решения задач одномерной оптимизации

ФОРМУЛИРОВКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Управления

Аналитические и численные методы поиска оптимального

Лекция 10

В достаточно общем виде математическую задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом:

Минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений на управляемые переменные.

Под минимизацией (максимизацией) функции n переменных f(x)=f(x1,...,xn) на заданном множестве U n- мерного векторного пространства En понимается определение хотя бы одной из точек минимума (максимума) этой функции на множестве U, а также, если это необходимо, и минимального (максимального) на U значения f(x).

При записи математических задач оптимизации в общем виде обычно используется следующая символика:

f(x) -> min (max),

x принадлежит U,

где f(x) - целевая функция, а U - допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые переменные.

Задачи одномерной минимизации представляют собой простейшую математическую модель оптимизации, в которой целевая функция зависит от одной переменной, а допустимым множеством является отрезок вещественной оси:

f(x) -> min, x принадлежит [a, b].

Максимизация целевой функции эквивалента минимизации (f(x) -> max) эквивалентна минимизации противоположной величины (-f(x) -> min), поэтому, не умаляя общности можно рассматривать только задачи минимизации.

К математическим задачам одномерной минимизации приводят прикладные задачи оптимизации с одной управляемой переменной. Кроме того, необходимость в минимизации функций одной переменной возникает при реализации некоторых методов решения более сложных задач оптимизации.

Для решения задачи минимизации функции f(x) на отрезке [a, b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решения этой задачи с необходимой точностью в результате определения конечного числа значений функции f(x) и ее производных в некоторых точках отрезка [a, b]. Методы, использующие только значения функции и не требующие вычисления ее производных, называются прямыми методами минимизации.

Большим достоинством прямых методов является то, что от целевой функции не требуется дифференцируемости и, более того, она может быть не задана в аналитическом виде. Единственное, на чем основаны алгоритмы прямых методов минимизации, это возможность определения значений f(x) в заданных точках.

Рассмотрим наиболее распространенные на практике прямые методы поиска точки минимума. Самым слабым требованием на функцию f(x), позволяющим использовать эти методы, является ее унимодальность. Поэтому далее будем считать функцию f(x) унимодальной на отрезке [a, b].

Дата добавления: 2014-01-07