Вектором нормали

Уравнение прямой, заданной точкой и

Системе координат

Прямая в прямоугольной декартовой

Лекция 10

Ненулевой вектор называется перпендикулярным данной прямой, если он ортогонален любому направляющему вектору этой прямой.

Вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали этой прямой или ее нормальным вектором. Для каждой прямой на плоскости существует бесконечное множество векторов нормали. Любые два из них коллинеарны (рис. 60).

Вектор нормали прямой будем обозначать через .

Лемма 1. Если прямая в прямоугольной системе координат задана уравнением , то вектор перпендикулярен прямой .

□ Возьмем направляющий вектор прямой и найдем скалярное произведение . ■

Следствие. Уравнение прямой , заданной в прямоугольной декартовой системе координат точкой и вектором нормали , имеет вид .

□ Если , то (рис. 61) Þ .

Если , то вектор не ортогонален вектору , т.е. .

Итак, доказано, что точка тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

. ■ (19)

Уравнение (19) называется уравнением прямой, заданной точкой и вектором нормали.

Замечание. Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением , то геометрический смысл коэффициентов при х и у состоит в следующем: А и В есть координаты вектора нормали прямой , т.е. .

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите координаты вектора нормали оси ; оси прямоугольной декартовой системы координат .

2. Найдите координаты вектора нормали прямой: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Можно ли записать уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали, в аффинной системе координат и почему?

4. В прямоугольной декартовой системе координат прямая задана уравнением . Найдите уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной прямой . Решите задачу двумя способами.

§19. Основные метрические задачи,

Дата добавления: 2014-01-07