Аксиомы (схемы аксиом) исчисления высказываний

Лекция 5

Исчисление = формальная аксиоматическая теория.

Язык (алфавит, формулы), аксиомы, правила вывода.

(A1) ;

(A2) ;

(A3) .

Правило вывода: из непосредственно следует

Теорема дедукции:

• Если Г - множество формул, и - формулы и , то .
• В частности, если , то .

Утверждение доказано по индукции.

Замечания:

1. При доказательстве использованы только схемы аксиом (А1) и (А2).

2. Доказательство позволяет по выводу из Г и построить вывод из Г.

Следствия:

1. . Действительно, ведь из .

2. . Действительно, ведь из .

3. . Действительно, ведь

Доказательство нескольких утверждений (a - g)

(a).

(b).

(c).

(d).

(e).

(f).

(g).

Нам понадобятся (b),(c),(f),(g) и аксиома А1.

Утверждение: Формула теории L является теоремой теории L, тогда и только тогда, когда она является тавтологией.

Þ Утверждение: Всякая теорема теории L является тавтологией.

Ü Теорема о полноте теории L: Если формула теории L является тавтологией, то она является теоремой теории L.

Пусть - формула, а -пропозициональные буквы, входящие в .

Пусть задано некоторое распределение истинностных значений для .

Обозначим: есть , если принимает значение «истина» и , если принимает значение «ложь».

Обозначим’: есть , если при заданном распределении истинностных значений принимает значение «истина», и , если принимает значение «ложь».

Лемма. . (Лемма о выводимости из литералов)

Например для формулы при принимает значение «ложь», поэтому, лемма утверждает, что

Доказательство леммы: Индукция по числу n вхождений в пропозициональных связок.

n=0, то - пропозициональная буква , утверждение леммы сводится к и .

Допустим, что лемма верна при любом j<n. Пусть имеет ровно n связок.

Связка	Формула	Значения	Случай
		И, -, Л	1а
		Л, -, И	1б
		Л, -, И	2а
		-, И, И	2б
		И, Л, Л	2в

Случай 1а: =И, =Л. Тогда =, а ==.

По индуктивному предположению, примененному к , ,

1.

2. (b)

3. по МП 1. и 2.

есть или . Следовательно

Случай 1б: =Л, =И. Тогда =, а ==.

По индуктивному предположению, примененному к , .

есть или . Следовательно

Случай 2а: =Л, =И, Тогда =, == .

По индуктивному предположению .

1.

2. (с)

3. МП

есть или . Следовательно

Случай 2б: =И, =И. Тогда , ==

По индуктивному предположению .

1.

2. (А1)

3. МП

есть , или . Следовательно

Случай 2в: =И, =Л, =Л. Тогда =, , == .

По индуктивному предположению , и .

1.

2.

3. (f)

4.

5.

, естьили . Следовательно

Лемма доказана.

Доказательство теоремы о полноте:

Пусть - тавтология, а - пропозициональные буквы, входящие в .

Для любого распределения истинностных значений (тавтология!)

В частности, и .

По теореме дедукции и

По (g) и дважды МП .

Так последовательно исключая все , получим . Теорема о полноте доказана.

Следствие:

Теория L - непротиворечива.

Доказательство: Поскольку всякая теорема теории является тавтологией, отрицание тавтологии – невыводимо.

Доказательство утверждений (a - g)

(a).

1 - (A3())

2 - теорема (1)

3 - 1,2 по следствию 2

4 - (А1())

5 - 3,4 по следствию 1

(b).

1. - (А3())

2. - пункт (а)

3. - 1,2 по МП

4. - (А1())

5. - 3,4 по следствию 1

(c).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1. - гипотеза

2. - гипотеза

3. - (А1)

4. - (А1)

5. - 2,3 по МП

6. - 1,4 по МП

7. - (А3)

8. - 6,7 по МП

9. - 5,8 по МП

(d).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1 - гипотеза

2 - гипотеза

3 - (А3)

4 - (А1)

5 - 1,3 по МП

6 - 4,5 по следствию 1

7 - 2,6 по МП

(e).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1 - гипотеза

2 - пункт (а)

3 - 1,2 по следствию 1

4 - пункт (в)

5 3,4 по следствию 1

6

7 - 5,6 по МП

(f).

1 - следствие 3

2 - пункт (е)

3 - 1,2 по следствию 1

(g).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1 - гипотеза

2 - гипотеза

3 - пункт (е)

4 1,3 по МП

5 - пункт (е)

6 - 2,5 по МП

7 - (А3)

8 - 6,7 по МП

9 - 4,8 по МП

Дата добавления: 2014-01-07