Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Аксиомы (схемы аксиом) исчисления высказываний


Лекция 5

Исчисление = формальная аксиоматическая теория.

Язык (алфавит, формулы), аксиомы, правила вывода.

(A1) ;

(A2) ;

(A3) .

Правило вывода: из непосредственно следует

Теорема дедукции:

  • Если Г - множество формул, и - формулы и , то .
  • В частности, если , то .

Утверждение доказано по индукции.

Замечания:

1. При доказательстве использованы только схемы аксиом (А1) и (А2).

2. Доказательство позволяет по выводу из Г и построить вывод из Г.

Следствия:

1. . Действительно, ведь из .

2. . Действительно, ведь из .

3. . Действительно, ведь

Доказательство нескольких утверждений (a - g)

(a).

(b).

(c).

(d).

(e).

(f).

(g).

Нам понадобятся (b),(c),(f),(g) и аксиома А1.

Утверждение: Формула теории L является теоремой теории L, тогда и только тогда, когда она является тавтологией.

Þ Утверждение: Всякая теорема теории L является тавтологией.

Ü Теорема о полноте теории L: Если формула теории L является тавтологией, то она является теоремой теории L.

Пусть - формула, а -пропозициональные буквы, входящие в .

Пусть задано некоторое распределение истинностных значений для .

Обозначим: есть , если принимает значение «истина» и , если принимает значение «ложь».

Обозначим’: есть , если при заданном распределении истинностных значений принимает значение «истина», и , если принимает значение «ложь».

Лемма. . (Лемма о выводимости из литералов)

Например для формулы при принимает значение «ложь», поэтому, лемма утверждает, что

Доказательство леммы: Индукция по числу n вхождений в пропозициональных связок.

n=0, то - пропозициональная буква , утверждение леммы сводится к и .

Допустим, что лемма верна при любом j<n. Пусть имеет ровно n связок.

Связка Формула Значения Случай
И, - , Л
    Л, - , И
    Л, - , И
- , И, И
    И, Л, Л

Случай 1а: =И, =Л. Тогда =, а ==.

По индуктивному предположению, примененному к , ,



1.

2. (b)

3. по МП 1. и 2.

есть или . Следовательно

Случай 1б: =Л, =И. Тогда =, а ==.

По индуктивному предположению, примененному к , .

есть или . Следовательно

Случай 2а: =Л, =И, Тогда =, ==.

По индуктивному предположению .

1.

2. (с)

3. МП

есть или . Следовательно

Случай 2б: =И, =И. Тогда ,==

По индуктивному предположению .

1.

2. (А1)

3. МП

есть , или . Следовательно

Случай 2в: =И, =Л, =Л. Тогда =, , ==.

По индуктивному предположению , и .

1.

2.

3. (f)

4.

5.

, естьили . Следовательно

Лемма доказана.

Доказательство теоремы о полноте:

Пусть - тавтология, а - пропозициональные буквы, входящие в .

Для любого распределения истинностных значений (тавтология!)

В частности, и .

По теореме дедукции и

По (g) и дважды МП .

Так последовательно исключая все , получим . Теорема о полноте доказана.

Следствие:

Теория L - непротиворечива.

Доказательство: Поскольку всякая теорема теории является тавтологией, отрицание тавтологии – невыводимо.

Доказательство утверждений (a - g)

(a).

1 - (A3())

2 - теорема (1)

3 - 1,2 по следствию 2

4 - (А1())

5 - 3,4 по следствию 1

 

(b).

1. - (А3())

2. - пункт (а)

3. - 1,2 по МП

4. - (А1())

5. - 3,4 по следствию 1

(c).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1. - гипотеза

2. - гипотеза

3. - (А1)

4. - (А1)

5. - 2,3 по МП

6. - 1,4 по МП

7. - (А3)

8. - 6,7 по МП

9. - 5,8 по МП

(d).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1 - гипотеза

2 - гипотеза

3 - (А3)

4 - (А1)

5 - 1,3 по МП

6 - 4,5 по следствию 1

7 - 2,6 по МП

(e).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1 - гипотеза

2 - пункт (а)

3 - 1,2 по следствию 1

4 - пункт (в)

5 3,4 по следствию 1

6

7 - 5,6 по МП

 

(f).

1 - следствие 3

2 - пункт (е)

3 - 1,2 по следствию 1

(g).

По теореме дедукции достаточно доказать, что

1 - гипотеза

2 - гипотеза

3 - пункт (е)

4 1,3 по МП

5 - пункт (е)

6 - 2,5 по МП

7 - (А3)

8 - 6,7 по МП

9 - 4,8 по МП

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Государственная регистрация договоров участия в долевом строительстве | Динамические массивы

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1420; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.021 сек.