Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Определение 10.6. Последовательность называется фундаментальной, если для такой, что для всех и для всех натуральных p справедливо неравенство: .

♦ Теорема 10.4 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть сходится и x – её предел. Тогда : : .

Для и – фундаментальная.

2) Достаточность. Пусть – фундаментальная, то есть она ограничена.

Доказывается равенство нижнего и верхнего предела, то есть последовательность сходится. ■

Дата добавления: 2014-01-07