Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Распределение Стьюдента

Служит для изучения вероятностных характеристик выборочных средних. Из того факта, что каждая выборка отбирается из генеральной

совокупности случайным образом, следует, что для распределения средних справедливо следующее:

1. Среднее значение распределения равно среднему в генеральной совокупности

2. Его стандартное (среднеквадратичное) отклонение равно ,

где – дисперсия исходной генеральной совокупности.

3. Его форма будет близкой к «колоколу» нормального распределения, если объемы выборок не слишком малы.

Эти положения хорошо подтверждаются опытом при обобщении эмпирически полученных выборочных распределений.

На практике нам не известны ни μ(х), ни σ2(х). По выборочным данным можно рассчитать только их оценки и . Эти данные не дают оснований считать, что выборочное распределение является нормальным со стандартным отклонением (на самом деле его стан-

дартное отклонение неизвестно и равно ). В таком случае воз-

никает проблема: как описать выборочное распределение?

Решение этой проблемы было дано в 1908г. У.Госеттом, который публиковал свои работы под псевдонимом «Стьюдент». Это было первым серьезным достижением в статистическом анализе малых выборок. Госетт показал, что статистика

(10.1)

подчиняется так называемому t-распределению (которое стали назы-вать распределением Стьюдента) с числом степеней свободы (ЧСС), равным ν. Это означает, что данное распределение зависит только от одного параметра – ν, который легко находится по объему выборки. Оно имеет очень сложную формулу плотности распределения

(10.2)

где! – знак факториала.

Число степеней свободы – параметр, равный объему выборки минус число оцениваемых по этой выборке параметров.

Для t-распределения ЧСС ν = N-1.

График функции плотности t-распределения симметричен относительно оси ординат и с ростом ν приближаетсяк кривой нормального распределения (рис.10.2).При малых ν t- распределение заметно отличается от нормального своей большой рассеянностью значений относительно центра распределения. Для того, чтобы распределение

Стьюдента не слишком отличалось от нормального, объемы выборок

должны быть не очень малыми .

Рисунок 10.2 – Распределение Стьюдента

 

Это следует из того, что у нормального распределения 95% наблюдаемых значений заключено в интервале , а для распределения Стьюдента при N =10 – в пределах . Т.о. даже для относительно небольших выборок расчет дисперсии по выборочным данным не может сильно исказить оценку математического ожидания.

Практическое значение распределения Стьюдента в том, что:

1. Найден точный ответ на вопрос о характере выборочного распределения средних для выборок небольшого объема.

2. Обосновано положение о том, что разница между распределением

средних и нормальным распределением невелика. Нормальное распределение может служить хорошей аппроксимацией даже в том случае, когда вместо приходится использовать .

3. Получена возможность выяснения вероятностных свойств выборочных средних, когда дисперсия неизвестна.

4. Статистика (8.1) может использоваться до отбора выборки для вы-

движения различных гипотез относительно выборочных средних, в частности, при интервальном оценивании.

10.3 Распределение (хи-квадрат)

Это распределение, называемое также распределением Пирсона, используется при изучении вероятностных свойств выборочных дисперсий.

Если s2(x) – дисперсия случайной величины по выборке из генеральной совокупности с дисперсией σ2(х) и неизвестным μ(х), то статистика

(10.3)

подчиняется так называемому χ2 – распределению с единственным параметром ν = N-1.

Распределение хи-квадрат возникает при рассмотрении случайной величины

,

где - независимые нормально распределенные случайные величины

с μ(u) = 0 и σ2(u) = 1.

Функция плотности распределения χ2 , подобно функции плотности t-распределения, имеет очень сложную структуру

(10.4)

Графики функции плотности этого распределения показаны на рисун-

ке 10.3:

Рисунок 10.3 – Распределение χ2

 

По рисунку 10.3 видно, что с ростом объема выборки χ2- распределение очень быстро становится похожим на нормальное. Область определения функции р(χ2) – от 0 до + . При малых ЧСС она асимметрична, но с ростом ν она становится более пологой и симметричной. При N → ∞ распределение стремится к нормальному с параметрами

и .

Распределение хи-квадрат применяется для описания вероятностных свойств эмпирических дисперсий. При помощи статистики (10.2) можно осуществлять интервальное оценивание эмпирической дисперсии s2(х), если до опыта известно σ2(х), а μ(х) – неизвестно

,

где - уровень значимости критерия (см. лекцию № 9).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Выборочные распределения | Распределение Фишера. Служит для сравнения дисперсий разных статистических сово-
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1357; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.