Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обращение теоремы Лагранжа

Теорема Лагранжа утверждает, что если , a , то

 

,

 

т.е. порядок любой подгруппы H группы G делит N – порядок группы G.

 

Естественно, возникает вопрос об обращении теореме: если m является делителем , то существует ли в группе G подгруппа H порядка m?

 

Другими словами: существует ли для каждого делителя m порядка группы N подгруппы H группы G порядка m?

 

В общем случае ответ отрицательный, однако в некоторых частных случаях такое обращение теоремы Лагранжа справедливо.

Теорема. (обращение теоремы Лагранжа)

1. Всякая подгруппа циклической группы есть снова циклическая группа.

2. Подгруппы бесконечной циклической группы исчерпываются бесконечными группами .

3. Подгруппы циклической группы порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителями числа .

Доказательство.

Докажем 1. Пусть – произвольная циклическая группа порядка . Для определенности будем предполагать, что – аддитивная группа.

В этом случае общий элемент группы имеет вид

 

.

 

Пусть – произвольная неединичная подгруппа группы , т.е. .

 

Так как , то элементами подгруппы являются элементы вида , но если .

 

Среди всех элементов вида , выберем элемент

 

, где – наименьшее положительное число.

 

Тогда любое можно представить в виде:

 

.

 

Из того, что

 

,

 

но m – наименьшее число, удовлетворяющее условию

 

 

mgÎH Þ r = 0 Þ H =<mg>,

 

т.е. Н – циклическая группа с образующим элементом mg.

 

 

Докажем 2. Подгруппы бесконечной циклической группы исчерпываются бесконечными группами .

 

Действительно, так как – циклическая группа с образующим элементом 1 или , т.е.

 

 

,

 

 

то, в соответствии с пунктом 1 данной теоремы, любая подгруппа H циклической группы определяется натуральным числом и имеет вид

 

,

 

причем все эти подгруппы бесконечны.

 

Докажем 3. Подгруппы циклической группы порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителями числа .

 

 

Пусть, как и ранее, – аддитивная циклическая группа порядка , т.е.

 

.

 

Если , причем, если элемент

 

.

 

Нам надо доказать, что делит .

 

Действительно, представим

 

 

.

 

 

Тогда из того, что

 

,

 

а минимальность влечет , следовательно .

 

Таким образом, из того, что , следует, что подгруппа имеет порядок , т.е.

 

 

.

 

 

Когда пробегает по всем положительным делителям числа , то же самое делает и , и мы получаем ровно по одной подгруппе порядка , делящего .

Следствие. В циклической группе порядка подгруппа порядка совпадает с множеством элементов , таких, что .

Доказательство. Элементы циклической группе порядка имеют вид

 

 

Если , то и .

 

Обратно, пусть и .

Из условия следует, что , откуда и .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция 10 | Нормальные делители
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 948; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.