КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сопряжённые элементы
Пусть Определение. Элементы называются сопряженными, если
(13)
а элемент h получается из трансформированием элемента
(14) Определение 3. Подгруппа H группы G является нормальным делителем группы G в том и только том случае, если для любого элемента g группы G вместе со всяким своим элементом она содержит и сопряженный ему элемент
Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы G, если:
. (15)
Используя это определение, легко доказать следующую теорему. Теорема. Пересечение любого семейства нормальных делителей группы G является нормальным делителем этой группы. Доказательство. Пусть – пересечение некоторого семейства нормальных делителей группы G. Как было доказано ранее, пересечение подгрупп группы G, есть подгруппа группы G. Если то h принадлежит всем нормальным делителям Поэтому каждый элемент сопряженный с элементом h, также принадлежит каждой из подгрупп а следовательно, он принадлежит и их пересечению
Понятие сопряженного элемента для подгруппы H, являющейся нормальным делителем группы G, позволяет дать изящное доказательство и следующей теореме. Теорема. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем в группе G. Доказательство. Пусть – произвольный, но фиксированный элемент группы G.
Тогда найдем сопряженный ему элемент
.
Необходимо показать, что он так же принадлежит .
Действительно, так как – изоморфизм, то
Это означает, что подгруппа группы G содержит вместе со всяким своим элементом и сопряженные ему элемент и, следовательно, является нормальным делителем в G.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1448; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |