Основные теоремы дифференциального исчисления. Производная и дифференциал высших порядков

Производная и дифференциал высших порядков

Производная параметрически заданной функции

Производная неявно заданной функции

.

Приближённое вычисление с помощью дифференциала

Лекция № 11

Тема: Дифференциал функции, инвариантность формы 1 дифференциала. Приближённые вычисления с помощью дифференциала. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда:, где А – число, не зависящее от, – б.м. при (). В приращении слагаемое –линейное относительно, причём –число, не зависящее от. Т.о..

Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции, соответствующего приращению аргумента..

,.

Пусть, тогда: и т.д.

Обратимся к рисунку 3: Отрезок BC соответствует приращению значения функции. Отрезок BT. Таким образом,. Можно лишь считать при малых значениях (или, что тоже самое):.

Пример 1. Вычислить приближённо значение Определяемся в том, что:, тогда, имеем:

Пусть функция задана с помощью уравнения:, т.е. задание функции неявное. Дифференцируем данное уравнение, как сложную функцию: при условии, что.

Пусть функция задана в параметрической форме, т.е. Тогда:

Рассмотрим производную:, производная от которой является также некоторой функцией. Поэтому от неё как от функции также можно находить производную (производные):и т.д.

Для дифференциалов второго и более высоких порядков свойство инвариантности не имеет места.

Например:

Здесь: и слагаемым нельзя пренебречь, т.к.. Т.о. второй дифференциал, в отличие от первого не имеет свойства инвариантности. Такой же факт имеет место для дифференциалов более высокого порядка.

Замечание: Производная от чётной функции есть функция нечётная (аналогично для нечётной функции). Поэтому производная порядка от чётной функции есть функция нечётная или чётная в зависимости от чётности (нечётности) порядка производной.

Рассмотрим некоторые определения:

Функция – возрастает в точке, если, где.

Функция – убывает в точке, если.

Функция – достигает в точке локального максимума, если, или.

Функция – достигает в точке локального минимума, если, или.

Точки локального минимума и максимума называются точками локального экстремума функции.

Теорема 1: Если функция в точке имеет положительную (отрицательную) производную, то она в этой точке возрастает (убывает).

Доказательство:

Пусть функция в точке имеет:, т.е., тогда выражение является при фиксированных значениях функцией от, стремится к положительному пределу. Но тогда по теореме о порядковых свойствах пределов (если функция имеет положительный предел, то существует окрестность предельной точки, в которой эта функция также положительна) имеем:, что означает, что функция возрастает в точке. Аналогично доказывается убывание.

#

Теорема 2: (Ферма, необходимое условие локального экстремума).

Если функция достигает в точке локального экстремума и в ней, то тогда.

Доказательство:

Положим противное, т.е. в точке имеем:. Тогда по Теореме 1 функция либо возрастает в этой точке, либо убывает в ней, что означает отсутствие локального экстремума. Тогда имеем:.

Замечание: Обратное утверждение не верно, т.е. если в точке:, то отсюда не следует, что в этой точке функция имеет локальный экстремум.

Пример 1: Функция:.. Эта точка не является точкой экстремума, т.к. в её окрестности имеются значения функции как с положительным так с отрицательным значением.

Пример 2: Рассмотрим функцию:

, т.к.. С другой стороны, в любой сколь угодно малой окрестности имеем: функция принимает как положительные так и отрицательные значения. Поэтому точка для этой функции не является ни точкой локального экстремума, ни точкой возрастания, убывания функции.

Теорема 3: (Ролля) Пусть функция непрерывная и имеет производную,, причём, тогда.

Доказательство:

Пусть. По условию теоремы: функция непрерывная и потому

Если точки совпадают с концами отрезка, то т.к., и тогда в любой точке имеем:, т.е. и в этой точке, т.е..

Если же точка оказалась внутри отрезка, тогда по теореме Ферма в этой точке локального экстремума.

Пусть теперь. Далее рассматривая функцию, имеем:, а значит #

Теорема 4: (Коши, о среднем значении). Пусть функции - непрерывные функции и имеют производные одновременно не обращающиеся в ноль, т.е.. Если, то:

Доказательство:

Рассмотрим функцию:, которая является непрерывной и имеет производную:, кроме того:. Аналогично:, т.е.. И тогда по теореме Роля, имеем:

#

Теорема 5: (Лагранжа о конечных приращениях) Пусть функция – непрерывная на отрезке, тогда, или.

Доказательство:

Следует из предыдущей теоремы Коши, если в ней принять:,. #

Дата добавления: 2014-01-07