Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации позволяет с достаточной для практики точностью исследовать устойчивость и точность нелинейных систем, используя методы, разработанные для линейных систем. Метод дает возможность определить наличие автоколебаний, а также их частоту и амплитуду.

Нелинейная система представляется в виде соединения линейной и нелинейной части (рис. 7.5).

	Линейная часть
		Нелинейная часть

X(t) Y(t)

Рис.7.5. Схема нелинейной системы

Выходной сигнал нелинейной части системы в общем случае определяется выражением

(7.16)

Обозначим как передаточную функцию линейной части. Система уравнений примет вид

(7.17)

Найдем условия, при которых на выходе линейной части системы возникают гармонические колебания вида

(7.18)

В этом случае сигнал y(t) нелинейной части будет представлять собой также периодическую функцию, но отличную от синусоиды. Эту функцию можно разложить в ряд Фурье

(7.19)

В этом выражении a_i и b_i – коэффициенты Фурье. Для симметричных нелинейностей F₀=0.

Основным условием, которое накладывает метод на линейную часть системы, является условие фильтра нижних частот. Считается, что линейная часть пропускает только первую гармонику колебаний. Данное допущение позволяет считать высшие гармоники в (7.19) несущественными и ограничиться рассмотрением только первой гармоники сигнала y(t).

(7.20)

Из (7.18) следует, что и т.к. то выражение (7.20) можно переписать в виде

(7.21)

Первое уравнение системы (7.17) примет вид

(7.22)

В этом выражении

(7.23)

Результат замены нелинейности F(x,sx) выражением

и называется гармонической линеаризацией. Величины q и q₁ называются коэффициентами гармонической линеаризации или просто гармоническими коэффициентами. Для однозначных нелинейностей обычно q₁=0. Формулы для гармонических коэффициентов, соответствующих типовым нелинейностям, приводятся в приложениях.

Принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной состоит в том, что при обычной линеаризации нелинейную характеристику заменяют прямой линией с определенной постоянной крутизной, а при гармонической линеаризации – прямой линией, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала нелинейного элемента.

Рассмотрим методику определения амплитуды и частоты автоколебаний.

1). В характеристическом уравнении системы, полученном из (7.22) делаем замену s=jw и получим

2). Из полученного выражения выделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их нулю, что, по критерию Михайлова, соответствует нахождению системы на колебательной границе устойчивости.

3).Решение этой системы дает частоту и значения гармонических коэффициентов. Если эти значения вещественны и положительны, то в системе существует предельный цикл. По значениям гармонических коэффициентов можно определить амплитуду предельного цикла.

4). Общим признаком устойчивости предельного цикла, т.е. существования автоколебаний, является равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица при полученных значениях амплитуды и частоты предельного цикла. Часто более удобно использовать условие устойчивости предельного цикла, в основе которого лежит критерий устойчивости Михайлова.

(7.24)

Если это неравенство выполняется, то предельный цикл устойчив и в системе существуют автоколебания с определенными выше амплитудой и частотой. Индекс ”*” означает, что производные вычислены при уже известных значениях гармонических коэффициентах, амплитуды и частоты.

Дата добавления: 2014-01-07