Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений методом механических квадратур

§1. Вращение вполне непрерывного векторного поля

Вращение – это целочисленная топологическая характеристика векторных полей на границах ограниченных областей.

Пусть - ограниченная область в n -мерном пространстве ; S – граница . Пусть на S задано непрерывное векторное поле без нулевых векторов. Тогда определено непрерывное отображение границы S области на единичную сферу пространства . Степень этого отображения называют вращением поля на S и обозначают его через .

Векторное поле называется вполне непрерывным, если A – вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве E.

Пусть - ограниченная область в E, S – граница . Пусть вполне непрерывное векторное поле задано на S и не имеет на S нулевых векторов; тогда говорят, что поле невырождено на S.

Обозначим через конечномерное подпространство пространства E, содержащее некоторую сеть компактного множества AS. Положим

где

Нелинейный оператор определен на AS и проектирует это компактное множество на . Легко видеть, что Через обозначим границу пересечения , а через - вращение конечномерного (в пространстве ) поля на . Если не имеет общих точек с , то положим .

При достаточно малых (при , где ) числа одинаковы – они не зависят ни от , ни от выбора сети, ни от выбора содержащего эту сеть подпространства. Общее значение чисел называют вращением вполне непрерывного поля на S и обозначают (как и в конечномерном случае) через .

Пусть теперь - непустое открытое ограниченное множество в вещественном банаховом пространстве F, - его граница. Пусть A – вполне непрерывный на оператор в F, не имеющий на неподвижных точек. Справедливы следующие утверждения.

1. Если , то уравнение имеет в хотя бы одно решение.

2. Пусть B – другой вполне непрерывный на оператор в F такой, что

Тогда

Отметим, что . Действительно, в противном случае найдется такая последовательность , что при . Ввиду полной непрерывности A можно считать, что последовательность сходится к некоторому пределу z. Но тогда к тому же пределу сходится последовательность , и получаем, что , , т.е. A имеет на неподвижную точку, вопреки условию.

3. Пусть , где - замкнутое подпространство F. Тогда , где - сужение A на подпространство , а - граница множества в . (Может случиться, что Ø. В этом случае и утверждение остается в силе, если по определению положить Ø)=0.)

4. Пусть - решение уравнения , единственное в шаре , полностью содержащемся в . Обозначим через сферу . Тогда при любом .

Это общее значение вращений называется индексом изолированного решения .

5. Пусть - решение уравнения . Пусть оператор A дифференцируем по Фреше в точке и линейный оператор обратим. Тогда - изолированное решение ненулевого индекса; более того, .

6. Пусть область выпукла. Пусть A преобразует в себя замыкание области . Тогда из принципа Шаудера вытекает, что уравнение имеет в по крайней мере одно решение. Если A не имеет на неподвижных точек, то .

§2. Метод механических квадратур для нелинейных интегральных уравнений

Будем ссылаться на общую теорию приближенных методов для нелинейных уравнений второго рода (лекция 8).

Теорема 1. Пусть операторы T и вполне непрерывны на как операторы в E, - на как оператор в , причем

(1)

(2)

Пусть уравнение не имеет на границе множества решений и

(3)

Тогда при достаточно больших n множество решений уравнения в непусто и

где - множество решений уравнения в .

Множество непусто в силу предположения (3).

Следствием из теоремы 1 является

Теорема 2. Пусть операторы T и вполне непрерывны на шаре , а - на пересечении этого шара с . Пусть - изолированное решение уравнения ненулевого индекса, единственное в указанном шаре. Пусть выполнены условия (1) и (2), в которых и - указанные выше шар и его пересечение с .

Тогда найдется такое , что при уравнение имеет в шаре хотя бы одно решение и любая последовательность таких решений стремится при по норме к .

Утверждение 7. Пусть банахово пространство непрерывно вложено в E (т.е. , ). Пусть оператор T переводит в компактное в подмножество, а проекторы ограничены как операторы из в E, причем сильно, где P – оператор вложения пространства в E. Тогда выполняется условие (1).

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение

(4)

с непрерывным ядром и непрерывным свободным членом . Приближенные значения искомого решения определяем из системы уравнений

(5)

Эта система выведена на основе квадратурной формулы

. (6)

Предполагаем, что , и узлы интерполяции

.

Теорема 3. Пусть квадратурный процесс (6) сходится, т.е. при для любой непрерывной на функции . Пусть уравнение (4) имеет решение , и пусть ядро непрерывно по совокупности переменных при

(7)

а свободный член непрерывен на .

Тогда справедливы следующие два утверждения:

а) Если решение изолировано и ненулевого индекса (в пространстве C), то при достаточно больших n система уравнений (5) разрешима и

(8)

б) Если ядро имеет частную производную по x, непрерывную по совокупности переменных в области (7), и если линейное однородное интегральное уравнение

имеет лишь нулевое решение, то решение системы (5) при достаточно больших n существует и единственно, имеет место сходимость (8) и справедлива двусторонняя оценка

(9)

где

- остаточный член квадратурной формулы (6).

Доказательство. Пространства E и и проектор построим так же, как при доказательстве аналогичной теоремы для линейных интегральных уравнений (лекция 10, теорема 2). Уравнение (4) будем рассматривать как операторное уравнение . Непрерывность ядра в области (7) влечет за собой полную непрерывность оператора

на шаре как оператора из E в пространство C, а значит, и как оператора в E. В лекции 10 показано, что проекторы как оператора из C в пространство E сильно стремятся к оператору вложения C в E. Отсюда следует (утверждение 7), что в рассматриваемом случае выполнено условие (1).

Система уравнений (5) равносильна уравнению , в котором оператор определен на элементах из множества формулой

Приведем разность к виду

откуда, используя из лекции 10 (*), лемму 1 и

,

а также равномерную непрерывность и ограниченность в замкнутой области (7), получим соотношение (2).

В силу утверждения 3 индекс решения уравнения (4) одинаков в пространствах C и E; по предположению он отличен от нуля. Утверждение (а) теоремы следует из теоремы 2. Заметим, что решение уравнения и решение системы (5) связаны соотношением , и что

(10)

Перейдем к утверждению (б). Существование непрерывной в области (7) частной производной влечет непрерывную дифференцируемость T в как оператора из E в C, а тем более как оператора в E. Так как операторы сильно сходятся к оператору вложения C в E, то отсюда следует, что соблюдаются условия (8), (9) теоремы 1 (лекция 8). Поскольку оператор

вполне непрерывен в E и уравнение имеет по условию лишь нулевое решение, то оператор непрерывно обратим.

Операторы и непрерывно дифференцируемы в , причем для любых и имеем

Пользуясь равномерной непрерывностью и ограниченностью в замкнутой области (7), можно показать, что выполняются условия (10), (11) теоремы 1 (лекция 8). Теперь утверждение (б) следует из этой теоремы. В частности, оценка (9) вытекает из (13) теоремы 1 и соотношения (10); заметим, что .

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-07