Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Канонический вид квадратичной формы

Определение. Базис пространства будем называть каноническим для квадратичной формы , если матрица квадратичной формы диагональна, т.е.

.

Говорят, что квадратичная форма приводится к каноническому виду, если для нее существует канонический базис.

Теорема. Для любой квадратичной формы существует канонический базис.

Доказательство проведем методом Лагранжа. Пусть

-

квадратичная форма. Пусть не все коэффициенты равны нулю. Без ограничения общности считаем, что . Соберем все слагаемые, содержащие :

.

Выделим полный квадрат:

Теперь форму можно представить в виде

,

где .

Переход к новому базису, соответствующий замене координат

осуществляется при помощи невырожденной матрицы перехода.

Далее продолжаем действовать аналогично: выбираем координату, коэффициент при квадрате которой отличен от нуля, собираем все слагаемые, содержащие эту координату, выделяем полный квадрат и т.д. За конечное число шагов мы получим канонический вид квадратичной формы.

Проблемы могут возникнуть, если на каком-то этапе не найдется координаты, коэффициент при квадрате которой отличен от нуля. Возможны два варианта. Если ненулевых коэффициентов нет совсем, то процесс закончен – форма приобрела канонический вид (с для некоторых ). Если же найдется коэффициент для некоторых , то сделаем такое (невырожденное) преобразование:

Появятся (несократимые) слагаемые .

Теорема доказана.

 

15.6. Закон инерции. Итак, для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет вид:

.

Если потребовать, чтобы коэффициенты были положительными, то канонический вид формы будет таким:

.

Число - количество положительных коэффициентов - называется положительным индексом формы, число - количество отрицательных коэффициентов - называется отрицательным индексом формы, число - рангом квадратичной формы.

Заметим, что выбор канонического базиса неоднозначен. Поэтому возникает естественный вопрос: зависит ли положительный или отрицательный индекс формы от выбора базиса? Ответ дает следующая теорема.

Теорема (закон инерции). Положительный и отрицательный индексы формы не зависят от выбора базиса.

Доказательство. Пусть в каноническом базисе квадратичная форма имеет вид , причем . Пусть в другом каноническом базисе квадратичная форма имеет другой вид , .

Докажем независимость от базиса положительного индекса формы. Предположим, что , например, . Рассмотрим множество векторов . Этих векторов в сумме больше, чем , поэтому они линейно зависимы. Существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю:

,

.

Заметим, что вектор не может быть нулевым, поскольку векторы линейно независимы и векторы линейно независимы. Однако,

.

С другой стороны,

.

Мы получили противоречие. Значит, .

Аналогично можно получить, что отрицательный индекс не зависит от выбора базиса. Теорема доказана.

Если в каноническом виде квадратичной формы все коэффициенты положительны, то для любого ненулевого вектора . Такая форма называется положительно определенной. Отрицательно определенной называют форму, значения которой на каждом ненулевом векторе пространства отрицательны. Возникает вопрос, как определить знакоопределенность формы, не приводя ее к каноническому базису.

 

15.7. Критерий Сильвестра. Зафиксируем в пространстве некоторый базис . В этом базисе квадратичная форма имеет матрицу .

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы больше нуля.

Мы опустим строгое доказательство, приведем лишь некоторые рассуждения.

Если форма положительно определена, то существует базис, в котором ее матрица является единичной. Пусть - матрица перехода к этому базису. Тогда

,

.

Отсюда следует, что определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы больше нуля. Но положительности определителя матрицы недостаточно для ее положительной определенности. Так, например, определитель матрицы

больше нуля, однако, квадратичная форма с такой матрицей не является положительно определенной: на векторе с координатами ее значение равно -1. Построим цепочку подпространств , где - это множество векторов, являющихся линейными комбинациями базисных векторов . Ограничив квадратичную форму на подпространство , мы получим квадратичную форму на нем с матрицей, совпадающей с матрицей главного минора. Те же соображения, что и для всего пространства, приводят к утверждению о положительности этого минора.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Квадратичные формы | Биохимия крови
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 616; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.