Метод Эйлера

Будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными точками (узлами) служат точки x_i = x₀ + ih (i = 0, 1,..., n) промежутка [x₀, b] и целью является построение таблицы

x	x0	x1	…	xn = b
y	y0	y1	…	yn» y(b)

приближенных значений y_i решения у = y(x) задачи (1)-(2) в расчетных точках x_i.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от x₀ до x:

.

Тогда начальную задачу для ОДУ (1)-(2) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением

При x = x₁ из него получится равенство

(3)

Применение к интегралу в правой части равенства (3) простейшей (одноточечной) формулы левых прямоугольников дает приближенную формулу

y(x₁)» y₀ + f(x₀, y(x₀))(x₁­ – x₀),

В общем случае расчетная формула метода Эйлера получается численным интегрированием посредством простейшей формулы левых прямоугольников в равенстве

(4)

в предположении, что на каждом i-м шаге в роли начальной точки (x₀, y₀) выступает точка (x_i, y_i)

y_i+1 = y_i + hf(x_i, y_i). (5)

Зная точность используемой в (4) квадратурной формулы, легко прийти к выражению ошибки метода Эйлера.

Существуют и другие подходы к выводу метода Эйлера. В частности, он будет возникать далее как частный случай некоторых семейств численных методов решения задачи (1)-(2).

Дата добавления: 2014-01-07