Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

Производная функции, согласно ее математического определения (5) и (6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

а) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

Если для данного x имеет место вариант (а), то есть если при заданном x производная функции существует и конечна, то эта функция называется дифференцируемой в точке x.

Функция, дифференцируемая в каждой точке x некоторого промежутка оси ох (например, интервала (a; b) или отрезка [ a; b ]) называется дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

Из геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (11) и рис.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции в заданной точке x:

1) Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой x.

2) Не вертикальность этой касательной (ибо не существует).

Например, функция , график которой изображен на рис.7, не дифференцируема в точках x ₁, x ₂ и x ₃.

Действительно, точке x ₁ соответствует на графике функции точка M ₁ с вертикальной касательной. Точке x ₂ (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M ₂, касательная в которой не существует. Точке x ₃ соответствует точка M ₃ – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует.

Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она не вертикальна. Значит, для всех остальных x, отличных от (x ₁; x ₂; x ₃), существует производная функции. То есть во всех остальных точках x функция дифференцируема.

Непрерывность функций.

Определение. Функция у=f(x) называется непрерывной при значении х=х₀ (или в точке х₀), если она определена в некоторой окрестности точки х₀ (очевидно, и в самой точке х₀) и если или, что то же самое, .

Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции у=f(x) в точках и х₀ будет по абсолютной величине произвольно малой, если только будет достаточно мало.

Для непрерывных функций справедливы следующие теоремы, регламентирующие операции с этими функциями:

Теорема 1: Если функции и непрерывны в точке х₀, то сумма также есть непрерывная функция в точке х₀.

Теорема 2: Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3: Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Теорема 4: Если непрерывна при и f(u) непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке х₀.

Еще три теоремы описывают свойства непрерывных функций:

Теорема 5: Если функция y=f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на отрезке найдется по крайней мере одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению, где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х₂ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению . Значение функции будем называть наибольшим значением функции y=f(x) на отрезке , значение функции будем называть наименьшим значением функции на отрезке . (см. рис. 8)

Рис. 8.

Теорема 6: Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и b найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой функция обращается в нуль: .

Геометрический смысл этой теоремы в том, что график непрерывной функции , соединяющий точки и , где и (или и ) пересекает ось ох по крайней мере в одной точке.

Рис.9.

Теорема 7: Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения , то каково бы ни было число , заключенное между числами А и В, найдется такая точка х=с, заключенная между а и b, что .

Геометрический смысл этой теоремы родственен теореме 6. В данном случае всякая прямая пересекает график функции .

Дата добавления: 2014-01-07