Выбор тестовой задачи

Лекция 24. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ

При анализе устойчивости многошаговых методов обращаются к простейшей задаче Коши

где l=l+ i b в общем случае комплексная величина. Такой выбор тестовой задачи объясняется тем, что устойчивая линейная система (ее решение стремится к нулю) общего вида

с действительной [ п ´ п ]-матрицей А простой структуры преобразованием

приводится к виду

где u = S ^-1 х, L =diag{l _i } = S ^-1 AS, S - неособенная матрица преобразования, l _i - собственные значения матрицы А (в общем случае комплексные величины) с положительной действительной частью. Таким образом, каждое уравнение

преобразованной устойчивой линейной системы является простейшим дифференциальным уравнением, совпадающим по форме с тестовым уравнением привлекаемой задачи Коши.

Точное решение тестовой задачи имеет вид

Если Re l=a>0,то при любом значении b. Применяя численный метод с постоянным шагом h к тестовому уравнению, получим последовательность { u_k }. Если , то такой метод является устойчивым.

Дата добавления: 2014-01-07