Доказательство. Если левая часть уравнения (2.3.5):

Теорема 2

Если левая часть уравнения (2.3.5):

(2.3.5)

является полным дифференциалом некоторой функции в области , то уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо.

Пусть существует функция такая, что

.

· Тогда из доказательства теоремы 1 следует:

1) функция дважды непрерывно дифференцируема;

2) , .

· Поскольку согласно условиям, накладываемым на коэффициенты уравнения (2.3.5)

,

где

– вектор-строка, элементами которой являются коэффициенты , , уравнения (2.3.5), то:

для любого существует индекс такой, что (для заданной точки ).

Это значит

.

· Рассмотрим уравнение

. (2.3.15)

Оно обладает свойствами:

1) дважды непрерывно дифференцируема;

2) ;

3) .

А тогда по теореме о неявной функции оно задает функцию

,

обладающую свойствами:

1) дважды непрерывно дифференцируема;

2) ;

3) справедливо следующее тождество по переменным :

. (2.3.16)

· Вычислим дифференциал функции , задаваемой формулой (2.3.15):

. (2.3.15)

. (2.3.17)

Он совпадает с дифференциалом функции и левой частью уравнения (2.3.5):

. (2.3.5)

· Вычислим дифференциал функции с учетом того, что

.

Для этого, с одной стороны, надо в функции заменить компоненту вектора функцией .

Тогда получим тождество (2.3.16):

. (2.3.16)

Из тождества (2.3.16) следует, что дифференциал его левой части совпадает с дифференциалом правой части. А потому он будет тождественно равен нулю:

. (2.3.18)

В (2.3.18) тождество рассматривается по всем переменным

и .

С другой стороны, можем подставить функцию в правую часть выражения (2.3.17):

(2.3.17)

и заменить в ней на (дифференциал переменной на дифференциал функции ).

Результат этих действий должен быть одинаков с результатом, полученным при вычислении через дифференцирование тождества (2.3.16), т.е. должен совпасть с (2.3.18) (с нулем).

Поскольку второй путь вычисления означает подстановку функции в левую часть уравнения (2.3.5):

, (2.3.5)

то можем сделать вывод, что функция является решением уравнения (2.3.5). Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-07