Лекция № 5 Первый и второй законы Кирхгофа

Два закона Кирхгофа - основные законы электрических цепей. Оба закона были установлены на основании многочисленных экспериментов.

Согласно первому закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для токов), алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

где со знаком плюс записываются токи с положительными направлениями от узла, а со знаком минус – с положительными направлениями к узлу, или наоборот. Иначе: сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу. Например, для узла цепи на рис. 1. 10

Рис. 1.10. Распределение токов в узле электрической цепи

или

I₃ + I₅ = I₁ + I₂ + I₄.

Этот закон является следствием того, что в узлах сети постоянного тока заряды не могут накапливаться. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Согласно второму закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для напряжений), алгебраическая сумма напряжений участков любого контура электрической цепи равна нулю:

(*)

где m – число участков контура.

В (*) со знаком плюс записываются напряжения, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минуса – противоположно направленные, или наоборот.

В частности, для контура (рис. 1.11), содержащего только источники ЭДС и резистивные элементы, алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС:

(**)

где m – число резистивных элементов; n – число ЭДС в контуре.

В равенстве со знаком плюс записываются ЭДС и токи, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура и со знаком минус – противоположно направленные, или наоборот. Для контуров, содержащих источники тока, например контура 1, показанного штриховой линией на рис. 1.11, допустима запись второго закона Кирхгофа только в виде (*), но не в виде (**).

- U + U – U = 0, (**)

Рис. 1.11. Замкнутые контуры 1 и 2

Второй закон Кирхгофа (*) является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряжённости электрического поля вдоль любого замкнутого контура длиной L в безвихревом поле Например, для контура 1 на рис. 1.11 по (**) для контура 2 по (*)

В частном случае в контур может входить только одна ветвь цепи, так что он замыкается вне ветвей цепи (рис.1.12). В этом случае, согласно (**),

RI – U = E,

откуда

I = (U + E)/R. (***)

Рис. 1.12. Контур, состоящий из одной ветви

Уравнение (***) выражает обобщённый закон Ома для любой ветви с источником ЭДС (но без источников тока) с суммарными сопротивлением R и ЭДС Е или отдельного участка этой ветви с параметрами R и Е.

В общем случае схема замещения цепи имеет В ветвей, из которых B_j ветвей содержат источники тока, и У - 1 узлов.

Сначала производят расчёт режима в цепи без источников тока, B_j = 0. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У – 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К = В – У + 1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнением узлы называются независимыми.

Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов по второму закону Кирхгофа, потому что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнении для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.

Рис. 1.13. Расчёт электрических схем с помощью схемы замещения

В качестве примера произведём расчёт цепи, схема замещения которой показана на рис. 1.13 и которая содержит У = 2 узла и В = 3ветви, т.е. К = В – У + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 независимых контура (1 и 2, или 1 и 3, или 2 и 3).

Нужно выбрать положительные направления токов ветвей I₁, I₂, I₃. По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У – 1 = 2 - 1) независимое уравнение, например для узла а

- I₁ - I₂ + I₃ = 0

и по второму закону Кирхгофа можно составить – два (К = 2) независимых уравнения, например для контуров 1 и 2

R₁I₁ + R₃I₃ = E₁ + E₃;

R₂I₂ + R₃I₃ = E₂ + E₃.

Решение полученной системы трёх уравнений с тремя неизвестными токами, например методом подстановок, определяют токи ветвей I₁, I₂, I₃.

Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных на основе законов Ома и Кирхгофа, решать численными методами на ЭВМ. Например, для схемы замещения без источников тока удобно пользоваться матричной формой

AI = BE,

где А и В – квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС размером В Х В – число ветвей; I и Е – матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Современное ПО ПК имеет стандартные программы для решения систем алгебраических уравнений в матричной форме.

Дата добавления: 2014-01-07