Основные свойства определенного интеграла

1⁰. О днородность определенного интеграла. Если c – постоянная величина и функция интегрируема на отрезке , то справедливо тождество:

(2.1)

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Доказательство. Построим интегральную сумму для функции и постоянный множитель c вынесем за знак суммы (за скобки)

. (2.2)

Перейдем в равенстве (1.7) к пределу, получим:

. (2.3)

Из равенства (2.3) следует, что функция интегрируема на отрезке и справедливо тождество (2.2).

2⁰. Аддитивность определенного интеграла по отношению к подынтегральной функции. Если функции и интегрируемы на отрезке , то на интегрируема их сумма и и разность и справедливом тождество:

, (2.4)

т.е. интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или разности интегралов от этих функций.

Доказательство. Составим интегральную сумму для функции и преобразуем ее

(2.5)

Из равенств (2.5) следует, что функция интегрируема на отрезке и справедливо тождество (2.4). Свойство 2⁰ распространяется на любое конечное число слагаемых.

3. Аддитивность определенного интеграла по отношению к промежутку интегрирования. Если функция интегрируема на отрезке и точка расположена между точками и , , то она интегрируема на каждом из отрезков , и справедливо тождество:

(2.6)

т. е. интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям и .

Примем это свойство без доказательства.

Для функции, изображающей на рис. 1.3, равенство (2.6) примет вид:

4⁰. Если функция интегрируема на отрезке , то справедливо тождество:

(2.7)

Примем свойство без доказательства.

5⁰. Определенный интеграл с одинаковыми нижним и верхним пределами равен нулю:

(2.8)

Примем свойство без доказательства.

Дата добавления: 2014-01-07