Индуктивность в цепи синусоидального тока

Синусоидальный ток в резисторе.

На рисунке 5а показано графическое изображение резистора по ЕСКД. ПО резистору, обладающему активным сопротивлением R, течет синусоидальный ток

.

По закону Ома напряжение на резисторе

(9)

Где

Комплексная амплитуда тока и совпадающая с ней по фазе комплексная амплитуда напряжения изображены на комплексной плоскости (рис. 5б). Получилась векторная диаграмма для данного случая.

Рисунок 5 – Резистор и векторная диаграмма для резистора.

Таким образом, при протекании синусоидального тока через резистор, векторы тока и напряжения на комплексной плоскости совпадают по фазе.

Подставим мгновенное значения тока и мгновенное значения напряжения в выражение для мгновенной мощности p (8):

(10)

Таким образом, мгновенная мощность p имеет две составляющие: постоянную составляющую и переменную составляющую, изменяющуюся с двойной частотой питающей сети.

Изобразим эти составляющие на графике, запишем их графически сложим и получим окончательный вид зависимости мгновенной мощности от и (рис.6).

На том же рисунке 6 изобразим графики мгновенного значения тока и мгновенного значения напряжения.

Для наглядности график мгновенной мощности p заштрихован.

Рисунок 6. – Графики мгновенного значения напряжения, мгновенного значения тока и мгновенной мощности при протекании синусоидального тока через резистор.

Из графика мгновенной мощности видно, что ни в один из моментов времени мгновенная мощность не принимает отрицательных значений. Этим и обьясняется то факт, что резистор активно потребляет мощность источника и преобразует ее в тепловые потери.

Из опыта известно, что для контуров (катушек) с неферромагнитным сердечником из магнитодиэлектриков, у которых магнитная проницаемость µ почти постоянна и не зависит от напряженности магнитного поля, потокосцепление ᴪ пропорционально току:

,

Коэффициент пропорциональности называют собственной индуктивностью контура или индуктивностью.

Размерность в системе СИ:

Практически любая катушка обладает некоторой индуктивностью и активным сопротивлением. На схеме катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивности и резистора с сопротивлением. Выделим из схемы одну индуктивность.

На рисунке 7 показано графическое изображение индуктивности по ЕСКД.

Рисунок 7. – Катушка индуктивности в цепи синусоидального тока.

Через индуктивность течет синусоидальный ток. В катушке наводится ЭДС самоиндукции

Положительное направление отсчета для ЭДС обозначено стрелкой, совпадающей с положительным направлением отсчета тока (рис.7).

Найдем разность потенциалов между точками a и b. При перемещении от точки b к точке a идем навстречу ЭДС, поэтому, следовательно

Таким образом, напряжение на катушке индуктивности противоположно ЭДС самоиндукции:

Здесь

Из закона Ома ясно, что это некоторое сопротивление. Произведение обозначают и называют индуктивным сопротивлением

Проверим его размерность:

Таким образом, индуктивность оказывает переменному току сопротивление. Оно прямо пропорционально частоте.

Изобразим на векторной диаграмме комплексы действующих значений тока, напряжения на катушке и ЭДС самоиндукции (рисунок 8).

Рисунок 8 – Векторная диаграмма.

У тока нулевая начальная фаза, поэтому комплекс действующего значения тока отложен по вещественной оси.

У напряжения на катушке фаза равна. Положительные углы на комплексной плоскости откладываются от вещественной оси против часовой стрелки. Поэтому комплекс действующего значения напряжения на катушке направлен по мнимой оси.

У ЭДС самоиндукции начальная фаза равна минус. Отрицательные углы на комплексной плоскости откладываются по часовой стрелке. Поэтому комплекс действующего значения ЭДС самоиндукции отложен вдоль отрицательного направления мнимой оси.

Таким образом, при протекании синусоидального тока через катушку индуктивности вектор тока отстает от вектора напряжения на катушке на.

Найдем теперь мгновенную мощность для данного случая:

Изобразим на временной диаграмме графики тока, напряжения и мгновенной мощности (рис. 9).

Рисунок 9. – Графики мгновенных значений тока, напряжения и мгновенной мощности при протекании синусоидального тока через индуктивность.

Мгновенная мощность принимает нулевое значение каждую четверть периода, когда либо ток, либо напряжение равны нулю.

Мгновенная мощность положительная в превую, третью и все нечетные четверти периода, когда напряжение и ток имеют одинаковые знаки. Прлощадь, ограниченная кривой и осью абсцисс за четверть периода, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание магнитного поля в катушке индуктивности.

Мгновенная мощность отрицательна во вторую, четвертую и все четные четверти периода, когда напряжение и ток имеют разные знаки. Во вторую, четвертую и все четные четверти периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия, запасенная в магнитном поле катушки индуктивности, возвращается обратно источнику. Направление потока энергии меняется на противоположное.

Таким образом, в катушке индуктивности не происходит потребления энергии от источника, а происходит накапливание энергии в магнитном поле катушки индуктивности в нечетные четверти периода и возврат накопленной энергии источнику во все четные четверти периода.

Напомним, что элемент, не потребляющий энергию от источника, называется реактивным и обладает реактивным сопротивлением. То есть катушка индуктивности – это реактивный элемент, обладающий реактивным сопротивлением.

Конденсатор в цепи синусоидального тока

Если приложенное к конденсатору напряжение не меняется во времени, то заряд =Cu на одной его обкладке и заряд – =-Cu на другой (C – емкость конденсатора) неизменны и ток через конденсатор не проходит (i=d /dt=0), Если же напряжение на конденсаторе меняется во времени, например по синусоидальному закону

(16)

То по синусоидальному закону будет меняться заряд конденсатора:

(17)

И конденсатор будет периодически перезаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопровождается протеканием через него синусоидального тока:

C (18)

Из составления (16) и (18) видно, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на На векторной диаграмме вектор тока направляем по вещественной оси комплексной плоскости, а вектор напряжения на конденсаторе направим в отрицательном направлении мнимой плоскости.

На рис. 10 показано графическое изображение конденсатора по ECKD.

Рис. 10. Конденсатор в цепи синусоидального тока.

На рис. 11 изображена векторная диаграмма при протекании через конденсатор синусоидального тока.

Рис. 11. Векторная диаграмма.

Таким образом, при протекании синусоидального тока через конденсатор вектор тока опережает вектор напряжения на конденсаторе на.

Из выражения (18) запишем амплитуду тока:

(19)

Ясно, что выражение в знаменателе есть некоторое сопротивление согласно закону Ома:

(20)

которое называют емкостным сопротивлением конденсатора.

Проверим размерность:

;

(21)

Таким образом, оказывает переменному току сопротивление. Оно обратно пропорционально угловой частоте.

Мгновенная мощность

(22)

Из выражения (22) ясно, что мгновенная мощность изменяется с двойной частотой питающей сети.

Изобразим на временной диаграмме график тока, напряжения, мгновенной мощности (рис. 12).

Как и раньше для наглядности график мгновенной мощности заштриховывается.

Рис. 12. График мгновенных значений тока напряжения, мгновенной мощности при протекании синусоидального тока через конденсатор.

Во вторую и все четные четверти периода мгновенная мощность положительная, и в эти четверти периода энергия от источника передается конденсатору и идет на создание электрического поля конденсатора.

В первую и все нечетные четверти периода мгновенная мощность отрицательная, и энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, возвращается к источнику.

Мгновенная мощность положительная, когда напряжение и ток имеют одинаковые знаки, и отрицательная – когда напряжение и ток имеют противоположные знаки.

Мгновенная мощность равна нулю, когда либо ток, либо напряжение проходят через нуль. Это происходит каждую четверть периода, поэтому мгновенная мощность изменяется с двойной частотой питающей сети.

Таким образом, в конденсаторе не происходит потребление энергии от источника, а происходит накапливание энергии в электрическом поле конденсатора в четные четверти периода и возврат накопленной энергии источнику в нечетные четверти периода.

Напомним, что элемент, не потребляющий энергия от источника, называется реактивным и обладает реактивным сопротивлением. То есть конденсатор – это тоже реактивный элемент, обладающий реактивным сопротивлением

Диэлектрик, находящийся между обкладками конденсатора, всегда неидеален, то есть в нем всегда есть некоторые потери энергии, которые относительно малы и ими часто можно пренебречь. Если требуется учесть их в расчете, то конденсатор заменяют схемой замещения (рис. 13), в которой параллельно емкости С присоединен резистор сопротивлением R, потери энергии в котором имитируют потери энергии в реальном диэлектрике.

Рис. 13. Схема замещения реального конденсатора.

На рис. 14 приведена векторная диаграмма для реального конденсатора.

Рис. 14. Векторная диаграмма реального конденсатора.

На диаграмме вектор напряжения на конденсаторе направлен по вещественной оси комплексной плоскости. Вектор тока через идеальный конденсатор опережает вектор напряжения на, то есть, направлен в положительном направлении мнимой оси. Вектор тока через резистор R совпадает по направлению с вектором, то есть направлен по вещественной оси. Ток I через реальный конденсатор равен согласно первому закону Кирхгофа:

(23)

В результате ток реального конденсатора опережает на угол ϕ меньше. Угол δ между векторами токов и называют углом потерь. Он зависит от сорта диэлектрика и частоты. В справочниках обычно приводят тангенс сигма или обратную величину:

, (24)

которую называют добротностью конденсатора.

Чем лучше диэлектрик, то есть чем меньше в нем потери энергии, тем меньше угол сигма и тем больше добротность конденсатора Qc.

Умножение вектора на j и на –j.

Напомним, что по формуле Эйлера:

; (25)

(26)

Пусть есть некоторый вектор А(рис.15) умножим этот вектор на j:

(27)

Таким образом, умножение любого вектора на j означает поворот этого вектора на 90 в положительном направлении отсчета углов, то есть против часовой стрелки.

+j

+1

Рисунок 15. Умножение вектора на j и на –j.

Теперь умножим вектор А на –j:

. (28)

Таким образом, умножение любого вектора на -j означает поворот этого вектора на – 90 в отрицательном направлении отсчета углов, то есть по часовой стрелке.

Основы символического метода расчёта цепей синусоидального тока.

Сущность символического или комплексного метода расчета цепей состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов токов, напряжений, ЭДС.

В цепи протекает синусоидальный ток:

.

Перейдем к комплексу действующего значения тока:

(28)

то есть вектор тока направлен по вещественной оси комплексной плоскости.

Напряжение на катушке индуктивности:

(29)

Перейдем к комплексу действующего значения напряжения на катушке индуктивности:

(30)

То есть вектор повернут на против часовой стрелки относительно вектора из-за наличия множителя j.

Напряжение на конденсаторе:

(31)

Перейдем к комплексу действующего значения напряжения на конденсаторе:

(32)

То есть вектор повернут на 90 по часовой стрелке относительно вектора тока из-за наличия множителя –j.

Получается следующая таблица:

	+j       0 +1

Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусоидального тока.

Рассмотрим схему (рис.16). в котором резистор с сопротивлением R, катушка с индуктивностью L и конденсатор ёмкостью С соединены последовательно. Схема питается от источника синусоидального ЭДС.

Рисунок 16 – электрическая схема.

Запишем для данной схемы уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:

(33)

Пользуясь выше приведённой таблицей перехода от мгновенных значений к комплексным изображениям, получим:

(34)

где

Направим вектор тока по вещественной оси комплексной плоскости и изобразим векторы напряжений на резисторе, на катушке индуктивности, на конденсаторе на комплексной плоскости (рис.17). Вектор напряжения изображаем в конце вектора. Вектор строим от конца вектора.

Рисунок 17. Векторная диаграмма цепи R, L, C.

Получилась векторная диаграмма для рассматриваемой электрической схемы. Вектор напряжений на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, так как отсутствует множители j и –j. Вектор напряжений на катушке индуктивности из-за наличия множителя j повернут относительно вектора тока против часовой стрелки на, то есть в направлении положительного отсчета углов. Вектор напряжения на конденсаторе из-за наличия множителя –j повернут относительно вектора тока по часовой стрелке на, то есть в направлении отрицательного отсчета углов. На этой диаграмме, поэтому в результате вектор тока отстает на угол от вектора ЭДС. В данном случае цепь имеет индуктивный характер.

В выражении (34) вынесем ток за скобку:

(35)

Множитель представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обозначается через. Его называют комплексным сопротивлением:

Здесь R – активное сопротивление цепи, реактивное сопротивление цепи, равное разности реактивного сопротивления катушки индивидуальности и реактивного сопротивления конденсатора.

Уравнение (35) можно записать:

(37)

Или

(38)

Уравнение (38) представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока.

Дата добавления: 2014-01-07