Сходимость итерационной последовательности

Предварительно сформулируем еще одну теорему из математического анализа.

Теорема (достаточное условие сходимости итерационной последовательности). Пусть корень t уравнения х=g(х) отделен на отрезке [а; b] длины h. Если на отрезке [с; d ]=[а-h;b+h] функция g дифференцируема и найдется число 0£ q< 1 такое, что

при всех хÎ [с; d], то итерационная последовательность, порожденная формулой x_n+1=g(x_n) (п = 0,1,2,...), сходится к корню t при любом выборе начального приближения х_оÎ [a; b].

2. Замечание чем меньше число q, тем быстрее сходится последовательность приближений. Метод простой итерации является самоисправляющимся. Если какое-то приближение х_n найдено с ошибкой, но при этом ошибка не вывела его из отрезка [а; b], то последующие члены последовательности все равно будут приближаться к корню.

Теорема. Если на отрезке [а; b] функцияg дифференцируема и при всех хÎ[а; b], то итерационная последовательность не сходится к корню t ни при каком х₀¹t из этого отрезка.

Замечание: теорема не утверждает, что последовательность будет вообще расходящейся. Она может сходится к другому корню этого же уравнения.

Дата добавления: 2014-01-07