Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Антагонистические игры (принцип минимакса, седловой элемент, цена игры)

 

В качестве цели при поиске решения антагонистической игры будем рассматривать ситуацию равновесия, то есть устойчивое и выгодное решение.

Ситуация ( i*, j* ) называется равновесной, если она приемлема для обоих игроков. То есть всякое отклонение от приемлемой ситуации уменьшает выигрыш первого игрока и увеличивает проигрыш второго. Применительно к антагонистическим играм говорят о седловых точках.

Свойства седловых точек:

1. Равноценность. Если в игре несколько седловых точек, то значения функции выигрыша в них одинаковы.

2. Взаимозаменяемость оптимальных стратегий. Игроки могут заменить свои оптимальные стратегии другими оптимальными стратегиями, при этом равновесие не нарушится, а выигрыш (проигрыш) останется неизменным.

 

Устойчивое решение игры может быть получено путем следующих рассуждений.

Рассмотрим парную конечную игру, то есть два игрока, и они имеют противоположные интересы, причем у каждого из игроков А и В конечное число возможных действий - чистых стратегий.

Пусть игрок располагает стратегиями , а игрок - стратегиями . Целью участников любой матричной игры является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку максимальный выигрыш, а игроку - минимальный проигрыш.

Игрок , анализируя платежную матрицу, для каждой стратегии (строки) () сначала найдет минимальное значение ожидаемого выигрыша (). А затем из всех выделит наибольшее число и выберет соответствующую ему стратегию - наиболее предпочтительную в данных условиях. Ее называют максиминной стратегией, поскольку она отвечает величине

. (1)

Число называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой гарантированный минимальный выигрыш может получить игрок при любых действиях игрока .

Игрок , стремясь минимизировать проигрыш, при выборе наиболее предпочтительной стратегии сначала для каждой стратегии (столбца) () найдет максимально возможный проигрыш (). А затем среди всех выберет минимальное значение , которому будет соответствовать искомая стратегия . Ее называют минимаксной, так как она соответствует величине

. (2)

Число называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой гарантированный проигрыш может быть у игрока независимо от действий игрока .

Таким образом, правильно используя стратегии, игрок обеспечит себе выигрыш не меньше , а игрок в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку выиграть больше, чем .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса.

Сформулируем утверждение (без доказательства).

В матричной игре нижняя чистая цена игрыне превосходит верхней чистой цены игры: .

Общее значение нижней и верхней цены игры называется чистой ценой игры.

Максиминная и минимаксные стратегии, соответствующие цене игры , являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением игры.

Элемент платежной матрицы, стоящий на пересечении строки и столбца, которые соответствуют оптимальным стратегиям и , называется седловым элементом платежной матрицы.

Пример 1. Найти нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы

Стратегии игрока Стратегии игрока  
B1 B2 B3
A1 0,4 0,6 0,8 = 0,4
A2 1,1 0,7 0,9 = 0,7
A3 0,7 0,3 0,5 = 0,3
=1,1 =0,7 =0,9    

 

Для этой матрицы видно, что. Седловая точка , значит, цена игрыравна.

Матричная игра, имеющая седловую точку , решается в чистых стратегиях.

Оптимальными являются чистые стратегии , образующие седловую точку, цена игры равна .

Решением игры считается тройка .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Основные понятия. Теория игр - это математическая теория, исследующая конфликтные ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников | Доминирование стратегий игроков

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 893; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.