Математические отношения

Для понимания истинного смысла термина отношение рассмотрим несколько математических понятий. Допустим, у нас есть два множества, и , где и . Декартовым произведением этих двух множеств (обозначается как ) называется набор из всех возможных пар, в которых первым идет элемент множества , а вторым — элемент множества . Альтернативный способ выражения этого произведения заключается в поиске всех комбинаций элементов, в которых первым идет элемент множества , а вторым — элемент множества . В данном примере получим следующий результат:

.

Любое подмножество этого декартового произведения является отношением. Например, в нем можно выделить отношение , показанное ниже:

.

Для определения тех возможных пар, которые будут входить в отношение, можно задать некоторые условия их выборки. Например, если обратить внимание на то, что отношение содержит все возможные пары, в которых второй элемент равен 1, то определение отношения можно сформулировать следующим образом:

На основе тех же множеств можно сформировать другое отношение, , в котором первый элемент всегда должен быть в два раза больше второго. Тогда определение отношения можно сформулировать так:

В данном примере только одна возможная пара данного декартового произведения соответствует этому условию:

.

Понятие отношения можно легко распространить и на три множества. Пусть имеется три множества: — , и . Декартово произведение этих трех множеств является набором, состоящим из всех возможных троек элементов, в которых первым идет элемент множества , вторым — элемент множества , а третьим — элемент множества . Любое подмножество этого декартового произведения является отношением. Рассмотрим следующий пример трех множеств и вычислим их декартово произведение:

.

Любое подмножество из приведенных выше троек элементов является отношением. Увеличивая количество множеств, можно дать обобщенное определение отношения на доменах. Пусть имеется множеств . Декартово произведение для этих множеств можно определить следующим образом:

.

Обычно это выражение записывают в таком символическом виде:

Любое множество -арных кортежей этого декартового произведения является отношением множеств. Обратите внимание на то, что для определения этих отношений необходимо указать множества, или домены, из которых выбираются значения.

Дата добавления: 2014-01-07