Грубый случай

Пусть — положение равновесия системы (4.1) при некоторых фиксированных значениях параметров. Обозначим через матрицу линейной части системы (4.1) в равновесии .

и через — ее собственные числа, т. е. корни характеристического уравнения , где Sp А и det A — след и определитель матрицы А соответственно.

Неравенство выделяет грубый случай. Фазовый портрет грубой системы в окрестности положения равновесия хо определяется расположением собственных чисел на комплексной плоскости. Имеются три типа грубых положений равновесия: седло устойчивый узел или фокус

Рис. 4.1. Грубые положения равновесия на плоско­сти: а — седло; б — устойчивый и неустойчивый узел; в — устойчивый и неустойчивый фокус

, неустойчивый узел или фокус (рис. 4.1). В случае узла собственные числа действительны, в случае фокуса комплексно сопряжены: узел и фокус вместе называются неседлом. Траектории, стремящиеся к седлу при , называются сепаратрисами. Модельную систему грубой системы в окрестности положения равновесия запишем отдельно для случаев вещественных и комплексных . Если вещественны и , то модельная система имеет вид:

, (4.3)

где .

Если же комплексны и сопряжены, то модельную систему удобнее записать в виде

, (4.2)

где — комплексная переменная, .

Замечание 1. В случае модельная система имеет вид: .

Замечание 2. Узел топологически эквивалентен фокусу, однако в ряде случаев их полезно различать.

Дата добавления: 2014-01-07